Как найти площадь треугольника ABC

Как найти площадь треугольника ABC, зависит от того, какие данные известны. Через основание и высоту: $S = \dfrac{1}{2} a h_a$, где $a$ — сторона, $h_a$ — высота к ней.

Через две стороны и угол между ними: $S = \dfrac{1}{2} ab \sin C$.

Если известны все три стороны, применяют формулу Герона: $S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$, где $p$ — полупериметр треугольника.

Площадь всегда выражают в квадратных единицах измерения — квадратных сантиметрах, метрах или других, в зависимости от условия.

$S = \frac{1}{2} a h_a$

Разбор по случаям

Примеры

Основание и высота. В треугольнике ABC сторона $BC = a = 10$ см, а высота, проведённая к ней из вершины A, равна $h_a = 6$ см.

Площадь находят по формуле $S = \dfrac{1}{2} a h_a$: $S = \dfrac{1}{2} \cdot 10 \cdot 6 = 30$ см².

Именно так вычисляют площадь, когда высота уже построена или дана в условии, а не требует дополнительных вычислений.

Формула Герона по трём сторонам. В треугольнике ABC стороны равны $a=13$ см, $b=14$ см, $c=15$ см.

Полупериметр: $p = \dfrac{13+14+15}{2} = 21$ см.

Площадь по формуле Герона: $S = \sqrt{21 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6} = \sqrt{7056} = 84$ см².

Тот же результат получится и через основание с высотой, если их вычислить отдельно.

Частые ошибки

• Подставляют в формулу с синусом стороны, между которыми угол не лежит, и получают неверную площадь.
• Забывают, что в формуле Герона используют полупериметр, а не полный периметр треугольника.
• Путают высоту треугольника с одной из его боковых сторон и подставляют в формулу не то число, что искажает весь расчёт.

Коротко

Как найти площадь треугольника ABC, определяют по тому, какие элементы даны: основание с высотой, две стороны с углом между ними или все три стороны через формулу Герона. Результат всегда получают в квадратных единицах измерения.