Как найти площадь треугольника, пример

Разберём, как найти площадь треугольника, пример на самый частый случай: если известны основание a и высота h, проведённая к нему, площадь равна S = ½ a h. Если даны две стороны и угол между ними, применяют S = ½ a b sin γ. Когда известны все три стороны треугольника, но нет ни одной высоты, используют формулу Герона: сначала находят полупериметр p, а затем S = √(p(p−a)(p−b)(p−c)). Выбор формулы всегда зависит от набора исходных данных задачи, поэтому перед решением стоит выписать, что именно дано по условию.

$S = \frac{1}{2} a h$

Разбор по случаям

Примеры

Через основание и высоту. Основание треугольника $a = 10\text{ см}$, высота, проведённая к нему, $h = 6\text{ см}$.

Площадь: $S = \dfrac{1}{2} \cdot 10 \cdot 6 = \dfrac{60}{2} = 30\text{ см}^2$.

Этот способ подходит, когда высота уже отмечена на чертеже или измерена отдельно.

Через две стороны и угол. Стороны треугольника равны $a = 8\text{ см}$ и $b = 5\text{ см}$, угол между ними $\gamma = 30^\circ$.

Так как $\sin 30^\circ = 0{,}5$, площадь равна $S = \dfrac{1}{2} \cdot 8 \cdot 5 \cdot 0{,}5 = 10\text{ см}^2$.

Высоту при этом отдельно проводить и измерять не нужно, достаточно знать величину угла между заданными сторонами треугольника.

Частые ошибки

• Умножают основание на высоту без деления пополам и получают удвоенное значение площади треугольника.
• В формуле с углом путают синус с косинусом и подставляют неверное значение тригонометрической функции.
• В формуле Герона забывают вычесть каждую сторону из полупериметра перед перемножением четырёх множителей под корнем.

Коротко

Разбирая, как найти площадь треугольника, пример показывает, что выбор формулы определяется набором известных данных — сторонами, высотой или углом. Три основных способа дают одинаково верный результат, если исходные величины измерены точно.