Как найти площадь треугольника с прямым углом

Как найти площадь треугольника с прямым углом — умножить катеты друг на друга и результат разделить пополам: $S = \frac{1}{2} a b$, ведь один катет уже служит высотой, опущенной на другой. Если известен только один катет и гипотенуза, второй катет находят по теореме Пифагора: $b = \sqrt{c^2 - a^2}$, а затем подставляют оба катета в основную формулу площади. Оба способа дают одинаковый результат, если катеты и гипотенуза относятся к одному и тому же треугольнику.

Разбор по случаям

Примеры

Известны оба катета. Катеты прямоугольного треугольника равны $a = 6$ см и $b = 8$ см.

Площадь находят по формуле $S = \frac{1}{2} a b = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 = 24$ см².

Гипотенуза такого треугольника по теореме Пифагора равна $c = \sqrt{6^2+8^2} = \sqrt{100} = 10$ см, но для площади она не понадобилась.

Проверить результат легко: площадь такого треугольника равна половине площади прямоугольника со сторонами 6 и 8 см. Такую тройку катетов и гипотенузы полезно запомнить, она часто встречается в школьных задачах.

Известны катет и гипотенуза. В прямоугольном треугольнике известны катет $a = 5$ см и гипотенуза $c = 13$ см.

Второй катет находят по теореме Пифагора: $b = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169-25} = \sqrt{144} = 12$ см.

Площадь равна $S = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 12 = 30$ см².

Такие тройки чисел удобно запомнить — они часто встречаются в задачах и экономят время на вычислениях.

Проверка перемножением показывает, что $5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169 = 13^2$, значит теорема Пифагора здесь выполняется полностью верно и без округлений.

Частые ошибки

• Полусумму катетов путают с полупроизведением и складывают катеты вместо того, чтобы их перемножить.
• Гипотенузу по ошибке подставляют в формулу площади вместо одного из катетов.
• При поиске второго катета через теорему Пифагора вычитают квадраты не в том порядке и получают отрицательное число под корнем.

Коротко

Как найти площадь треугольника с прямым углом — перемножить катеты и результат разделить пополам, а если катет неизвестен, сначала найти его через теорему Пифагора или тангенс угла. Формула $S = \frac{1}{2} a b$ остаётся неизменной во всех случаях, меняется лишь способ получить сами катеты.