Как найти площадь треугольника с вписанной окружностью

Чтобы понять, как найти площадь треугольника с вписанной окружностью, радиус этой окружности умножают на полупериметр треугольника: $S = rp$, где $p = \frac{a+b+c}{2}$. Если известны все три стороны, сначала находят полупериметр, а затем подставляют его в формулу вместе с радиусом окружности. Для равностороннего треугольника радиус и площадь можно выразить прямо через длину стороны, минуя полупериметр отдельно от других величин. В прямоугольном треугольнике радиус находят через сумму катетов минус гипотенуза, делённую пополам.

Разбор по случаям

Примеры

Разносторонний треугольник. Треугольник со сторонами $a=13$, $b=14$, $c=15$ см имеет вписанную окружность радиусом $r=4$ см, все данные известны из условия школьной задачи по геометрии.

Полупериметр $p = \frac{13+14+15}{2} = 21$ см.

Площадь треугольника $S = rp = 4\cdot21 = 84$ см² — известный в геометрии результат для этих трёх конкретных сторон, который несложно проверить ещё и независимой формулой Герона через тот же самый полупериметр треугольника.

Прямоугольный треугольник. Прямоугольный треугольник имеет катеты $a=3$ см, $b=4$ см и гипотенузу $c=5$ см, это классическое египетское соотношение сторон прямоугольного треугольника. Радиус вписанной окружности $r = \frac{3+4-5}{2} = 1$ см. Полупериметр $p = \frac{3+4+5}{2} = 6$ см, площадь $S = rp = 1\cdot6 = 6$ см² — результат полностью совпадает с обычной формулой площади через произведение катетов, делённое пополам, что подтверждает верность всего проведённого выше вычисления от начала и до самого конца.

Частые ошибки

• Путают полупериметр с периметром и забывают разделить сумму сторон на два.
• Используют формулу площади через основание и высоту вместо формулы через радиус, хотя высота не дана.
• В прямоугольном треугольнике складывают все три стороны вместо катетов и гипотенузы по отдельности при поиске радиуса.

Коротко

Итог: как найти площадь треугольника с вписанной окружностью — умножить радиус окружности на полупериметр треугольника. Для равностороннего или прямоугольного треугольника радиус можно сначала выразить через стороны фигуры, а затем найти саму площадь.