Как найти прямой угол в треугольнике

Чтобы понять, как найти прямой угол в треугольнике, проверяют равенство квадрата самой длинной стороны сумме квадратов двух других сторон — это обратная теорема Пифагора: если c² = a² + b², угол напротив стороны c равен 90°. Если известны координаты вершин, прямой угол ищут через скалярное произведение векторов сторон: если оно равно нулю, векторы перпендикулярны, а угол между ними прямой.

$c^2 = a^2 + b^2$

Разбор по случаям

Примеры

Стороны 6, 8, 10 см. На чертеже в контрольной работе треугольник имеет стороны $a = 6\text{ см}$, $b = 8\text{ см}$ и самую длинную сторону $c = 10\text{ см}$, а измерить угол транспортиром неудобно. Проверяем обратную теорему Пифагора: $a^2 + b^2 = 36 + 64 = 100$, а $c^2 = 10^2 = 100$. Равенство $100 = 100$ выполняется, значит угол напротив стороны в 10 см действительно равен 90°, и весь треугольник является прямоугольным, что и требовалось доказать.

Вершины A(0;0), B(4;0), C(0;3). В задаче по координатной геометрии на плоскости треугольник задан координатами вершин $A(0;\,0)$, $B(4;\,0)$, $C(0;\,3)$. Строим векторы сторон из вершины A: $\vec{AB} = (4;\,0)$, $\vec{AC} = (0;\,3)$.

Скалярное произведение: $\vec{AB} \cdot \vec{AC} = 4 \times 0 + 0 \times 3 = 0$.

Произведение равно нулю, значит векторы перпендикулярны, а угол при вершине A действительно прямой и равен ровно 90°, без всяких измерений транспортиром.

Частые ошибки

• Проверяют равенство суммы квадратов не для самой длинной стороны, а для произвольной из трёх сторон фигуры.
• Считают углы прямыми «на глаз» по чертежу, не доказывая это ни теоремой Пифагора, ни через векторы.
• Путают скалярное произведение векторов с простым перемножением их длин, забывая про сумму произведений координат.

Коротко

Прямой угол в треугольнике находят проверкой равенства c² = a² + b² или через скалярное произведение векторов сторон, равное нулю. Так решают вопрос, как найти прямой угол в треугольнике, не измеряя его обычным школьным транспортиром.