Как найти синус острого угла

Как найти синус острого угла: в прямоугольном треугольнике катет, противолежащий этому углу, делят на гипотенузу и получают значение синуса. Если гипотенуза не дана, но известны оба катета, её сначала находят по теореме Пифагора, а затем делят катет на неё. Если известен косинус или тангенс угла, синус находят через основное тригонометрическое тождество, извлекая квадратный корень и учитывая, что для острого угла значение синуса всегда положительно. Для стандартных углов вроде 30, 45 и 60 градусов значение берут прямо из таблицы.

$\sin\alpha = \dfrac{a}{c}$

Разбор по случаям

Примеры

По сторонам треугольника. В прямоугольном треугольнике катет, противолежащий углу $\alpha$, равен $a = 3$ см, а гипотенуза равна $c = 5$ см.

Синус угла равен $\sin\alpha = \dfrac{a}{c} = \dfrac{3}{5} = 0{,}6$.

Такой треугольник со сторонами 3, 4 и 5 часто встречается в задачах и легко проверяется теоремой Пифагора: $3^2+4^2=5^2$.

Через косинус. Известен косинус угла: $\cos\alpha = 0{,}8$.

По тождеству $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$ находят $\sin^2\alpha = 1 - 0{,}8^2 = 1 - 0{,}64 = 0{,}36$.

Извлекая корень, получают $\sin\alpha = \sqrt{0{,}36} = 0{,}6$, поскольку угол острый и синус положителен.

Это тот же результат, что и в примере со сторонами 3, 4 и 5.

Частые ошибки

• Путают противолежащий катет с прилежащим и делят на гипотенузу не ту сторону прямоугольного треугольника.
• Забывают, что при извлечении корня из тригонометрического тождества для острого угла берут только положительное значение.
• Считают синус через отношение катетов друг к другу, а не через отношение катета к гипотенузе.

Коротко

Как найти синус острого угла — разделить противолежащий катет на гипотенузу прямоугольного треугольника. Если стороны треугольника неизвестны, синус находят через косинус или тангенс по тригонометрическому тождеству, беря только положительный корень для острого угла.