Как найти синус угла альфа

Как найти синус угла альфа, зависит от того, что дано в условии задачи. В прямоугольном треугольнике синус угла альфа равен отношению противолежащего катета к гипотенузе: sin α = a/c. Если известен косинус того же угла, синус находят через основное тригонометрическое тождество sin α = √(1 − cos²α). Через тангенс синус выражают как sin α = tg α/√(1 + tg²α), а в произвольном треугольнике — по теореме синусов.

$\sin\alpha = \dfrac{a}{c}$

Разбор по случаям

Примеры

Даны катеты. В прямоугольном треугольнике катеты равны $a = 5$ см и $b = 12$ см, гипотенуза по теореме Пифагора равна $c = \sqrt{5^2+12^2} = 13$ см.

Угол α лежит против катета 5 см, поэтому $\sin\alpha = a/c = 5/13 \approx 0{,}38$.

Проверка по тождеству $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$ подтверждает, что найденное значение синуса верно.

Дан косинус угла. Известен косинус того же угла: $\cos\alpha = 12/13 \approx 0{,}92$.

По тождеству $\sin\alpha = \sqrt{1 - \cos^2\alpha} = \sqrt{1 - (12/13)^2} = \sqrt{25/169} = 5/13 \approx 0{,}38$.

Результат совпал с вычислением через катеты треугольника.

Частые ошибки

• Путают противолежащий и прилежащий катет и делят на гипотенузу не ту сторону треугольника.
• При переходе от косинуса к синусу через тождество забывают извлечь квадратный корень из разности.
• В теореме синусов путают, какая сторона треугольника стоит против какого именно угла, и получают перевёрнутое отношение.

Коротко

Как найти синус угла альфа, определяет то, что дано в условии задачи: противолежащий катет и гипотенуза, косинус, тангенс или теорема синусов для произвольного, не обязательно прямоугольного треугольника. В прямоугольном треугольнике со сторонами 5, 12 и 13 см синус угла, противолежащего катету 5 см, равен 5/13 ≈ 0,38, что подтверждается и через косинус.