Как найти стороны многоугольника, если известен угол

Как найти стороны многоугольника, если известен угол: для правильного многоугольника угол задаёт число сторон или центральный угол, а сторону получают через радиус описанной окружности. Для произвольного треугольника или параллелограмма с известным углом и двумя сторонами третью сторону или диагональ находят теоремой косинусов. Если известны угол и периметр правильной фигуры, сторону находят делением периметра на число сторон, которое сначала вычисляют по углу.

$a = 2R\sin\left(\dfrac{180^\circ}{n}\right)$

Разбор по случаям

Примеры

Правильный шестиугольник. Шестиугольник вписан в окружность радиуса $R = 6\text{ см}$. Центральный угол: $360^\circ / 6 = 60^\circ$.

Сторона: $a = 2 \cdot 6 \cdot \sin(30^\circ) = 12 \cdot 0,5 = 6\text{ см}$.

У правильного шестиугольника сторона всегда равна радиусу описанной окружности, это удобно запомнить как готовое правило.

Треугольник по двум сторонам и углу. Известны стороны $b = 8\text{ см}$, $c = 5\text{ см}$ и угол между ними $\alpha = 60^\circ$.

По теореме косинусов: $a^2 = 8^2 + 5^2 - 2\cdot8\cdot5\cdot\cos60^\circ = 89 - 40 = 49$.

Третья сторона: $a = 7\text{ см}$, треугольник со сторонами 8, 5 и 7 см реально существует, потому что сумма двух меньших сторон больше третьей.

Частые ошибки

• Путают центральный угол правильного многоугольника с внутренним углом при вершине и подставляют не то значение.
• Забывают, что в теореме косинусов угол берут именно тот, который лежит между известными сторонами.
• Делят периметр на число сторон, не проверив, что число сторон получилось целым и подходящим для правильной фигуры.

Коротко

Как найти стороны многоугольника, если известен угол, зависит от типа фигуры: у правильного многоугольника угол определяет число сторон и связь с радиусом, у произвольного треугольника работает теорема косинусов. В обоих случаях число сторон и радиус или соседние стороны должны быть согласованы.