Как найти внутренний угол, если известен внешний

Вопрос «Как найти внутренний угол, если известен внешний» решается так: оба угла вместе образуют развёрнутый угол при одной и той же вершине, а их сумма равна 180°. Формула: внутренний угол = 180° − внешний угол. Для правильного n-угольника внешний угол сначала находят как 360°/n, а затем вычитают его из 180°, получая формулу (n − 2)·180°/n.

$\alpha = 180° - \beta$

Разбор по случаям

Примеры

внешний угол при вершине. Внешний угол многоугольника при одной из вершин равен $110°$. Внутренний угол находят простым вычитанием: $180° - 110° = 70°$. Проверка подтверждает результат: сумма внутреннего и внешнего углов равна $110° + 70° = 180°$, значит ответ найден верно и без ошибок в этом стандартном школьном примере из курса планиметрии для восьмого класса общеобразовательной школы.

правильный многоугольник. Внешний угол правильного многоугольника равен $40°$. Число сторон находим так: $n = 360°/40° = 9$, это правильный девятиугольник с равными сторонами и равными углами при каждой вершине. Внутренний угол: $180° - 40° = 140°$, что совпадает с формулой $(9-2)\cdot180°/9 = 140°$, значит оба независимых способа расчёта здесь дают один и тот же самый верный результат.

Частые ошибки

• Складывают внутренний и внешний угол вместо вычитания и получают число больше 180°, что прямо противоречит определению.
• При работе с правильным многоугольником забывают сначала найти внешний угол через 360°/n перед вычитанием из 180°.
• Путают внешний угол треугольника с обычным смежным углом стороны и применяют для расчёта совсем не ту теорему.

Коротко

Ответ на вопрос «Как найти внутренний угол, если известен внешний» всегда один: их сумма равна 180°, поэтому внутренний угол находят простым вычитанием. Для правильных многоугольников и теоремы о внешнем угле треугольника это же правило применяют с небольшими уточнениями по формуле.