Как найти угол 3-4-5

Как найти угол 3-4-5 — сначала убедиться, что треугольник прямоугольный: $3^2+4^2=9+16=25=5^2$, значит угол между сторонами 3 и 4 равен $90^\circ$.

Два оставшихся острых угла находят через арктангенс отношения катетов: $\alpha = \arctan\left(\frac{3}{4}\right) \approx 37^\circ$ и $\beta = \arctan\left(\frac{4}{3}\right) \approx 53^\circ$.

Такой треугольник называют египетским, потому что подобный способ построения прямого угла использовали ещё в древности при разметке земли.

$\alpha = \arctan\left(\frac{3}{4}\right)$

Разбор по случаям

Примеры

Углы треугольника 3-4-5. Стороны треугольника равны 3, 4 и 5 см. Проверяем теорему Пифагора: $3^2+4^2=9+16=25$, а $5^2=25$ — равенство верно, значит треугольник прямоугольный, и угол между сторонами 3 и 4 равен $90^\circ$.

Угол напротив стороны 3 находим через арктангенс: $\alpha = \arctan\left(\frac{3}{4}\right) \approx 37^\circ$.

Угол напротив стороны 4 равен $\beta = 90^\circ - 37^\circ = 53^\circ$.

Сумма всех трёх углов $90^\circ + 37^\circ + 53^\circ = 180^\circ$ подтверждает правильность расчёта.

Треугольник 6-8-10 — тот же угол. Стороны треугольника равны 6, 8 и 10 см — это увеличенный вдвое треугольник 3-4-5. Проверка: $6^2+8^2=36+64=100=10^2$, треугольник по-прежнему прямоугольный.

Угол между катетами 6 и 8 равен $90^\circ$, а угол напротив катета 6 находим так же: $\alpha = \arctan\left(\frac{6}{8}\right) = \arctan\left(\frac{3}{4}\right) \approx 37^\circ$.

Отношение катетов не изменилось, поэтому и острые углы остались точно такими же, как в исходном треугольнике 3-4-5.

Частые ошибки

• Считают треугольник 3-4-5 прямоугольным без проверки теоремы Пифагора для конкретных чисел.
• Путают, какой угол противолежит стороне 3, а какой стороне 4, и меняют значения местами.
• Забывают, что 90 градусов — это угол между катетами 3 и 4, а не угол напротив стороны 5.

Коротко

Как найти угол 3-4-5 — проверить теорему Пифагора, получить прямой угол между катетами 3 и 4, а два острых угла найти через арктангенс отношения катетов. Такое же соотношение углов сохраняется в любом треугольнике, стороны которого пропорциональны числам 3, 4 и 5.