Как найти угол, опирающийся на диаметр окружности

Отвечая, как найти угол, опирающийся на диаметр окружности, применяют теорему Фалеса: любой вписанный угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны проходят через концы диаметра, равен $90^\circ$. Это не зависит от положения вершины на окружности — угол остаётся прямым в любой точке дуги. Такое свойство превращает треугольник, вписанный в окружность с диаметром в качестве одной из сторон, в прямоугольный треугольник с гипотенузой, равной диаметру.

$\angle ACB = 90^\circ$

Разбор по случаям

Примеры

Диаметр 10 см, известен угол 30°. В окружности проведён диаметр $d = 10\text{ см}$, а вершина треугольника лежит на окружности. По теореме Фалеса угол при этой вершине равен $90^\circ$.

Один из острых углов треугольника равен $\alpha = 30^\circ$, поэтому второй угол находят так: $\beta = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$.

Все три угла треугольника равны 90°, 30° и 60°, а сумма подтверждает верность расчёта.

Диаметр 13 см и катет 5 см. Диаметр окружности служит гипотенузой прямоугольного треугольника и равен $d = 13\text{ см}$, один из катетов равен $a = 5\text{ см}$.

По теореме Пифагора второй катет находят так: $b = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169-25} = \sqrt{144} = 12\text{ см}$.

Угол против гипотенузы, то есть против диаметра, остаётся равным 90°.

Частые ошибки

• Считают угол прямым для любой вершины на окружности, даже если стороны угла не проходят через концы диаметра.
• При использовании теоремы Пифагора берут радиус вместо диаметра в качестве гипотенузы треугольника.
• Путают вписанный угол, опирающийся на диаметр, с центральным углом, который для диаметра равен 180 градусам.

Коротко

Вписанный угол, опирающийся на диаметр окружности, по теореме Фалеса всегда равен 90 градусам независимо от положения вершины. Разобравшись, как найти угол, опирающийся на диаметр окружности, легко находить и остальные элементы получившегося прямоугольного треугольника.