Как найти вписанный угол, опирающийся на дугу

Чтобы понять, как найти вписанный угол, опирающийся на дугу, вспоминают главное правило: вписанный угол равен половине градусной меры дуги, на которую он опирается: $\alpha = \frac{d}{2}$. Правило работает независимо от того, где на окружности стоит вершина угла, лишь бы стороны угла проходили через концы одной и той же дуги. Если дуга равна полуокружности, то есть является диаметром, вписанный угол всегда равен девяноста градусам.

Разбор по случаям

Примеры

дуга дана в градусах. Дуга $AB = 80°$.

Вписанный угол, опирающийся на эту дугу, равен половине её градусной меры: $\alpha = \frac{80°}{2} = 40°$.

Проверка через центральный угол: центральный угол, опирающийся на ту же дугу, всегда равен самой дуге, то есть $80°$, а вписанный угол вдвое меньше центрального. Значит вписанный угол при дуге восемьдесят градусов равен сорока градусам.

угол на диаметр. Хорда AB — диаметр окружности, значит дуга AB равна $180°$.

Вписанный угол, опирающийся на эту дугу с вершиной в любой другой точке окружности, равен $\alpha = \frac{180°}{2} = 90°$.

Это частный случай теоремы о вписанном угле: угол, опирающийся на диаметр, всегда прямой, независимо от положения вершины на окружности, что часто используют в задачах на построение прямого угла циркулем и линейкой.

Частые ошибки

• Путают вписанный угол с центральным и берут полную градусную меру дуги вместо половины.
• Забывают, что вписанный угол не зависит от положения вершины на окружности, и ищут разные ответы для разных точек.
• Считают дугу по хорде на глаз, а не по данному в условии значению градусной меры.

Коротко

Вписанный угол всегда равен половине дуги, на которую он опирается, независимо от положения вершины на окружности. Как найти вписанный угол, опирающийся на дугу, если дан центральный угол на ту же дугу, — достаточно разделить его пополам.