Как найти угол по дуге окружности

Как найти угол по дуге окружности: длину дуги делят на радиус — так получают угол в радианах, а для перевода в градусы результат умножают на $\frac{180^\circ}{\pi}$: $\theta = \frac{180^\circ \cdot l}{\pi r}$.

Если известна длина всей окружности, угол находят как долю дуги от полного оборота в 360 градусов: $\theta = \frac{l}{L}\cdot360^\circ$.

Вписанный угол, опирающийся на ту же дугу, равен половине центрального угла: $\gamma = \frac{\theta}{2}$. Выбор формулы зависит от того, какие единицы даны и нужны.

Разбор по случаям

Примеры

Длина дуги и радиус. Дана длина дуги $l=2\pi$ см и радиус окружности $r=6$ см.

Угол в радианах равен $\theta=\frac{l}{r}=\frac{2\pi}{6}=\frac{\pi}{3}$.

Переводя в градусы, получают $\theta=\frac{\pi}{3}\cdot\frac{180^\circ}{\pi}=60^\circ$, значит центральный угол, соответствующий этой дуге, равен шестидесяти градусам.

Такой угол в шестьдесят градусов ровно равен одной шестой части полного оборота вокруг центра окружности. Проверить результат можно, зная, что дуга такой длины составляет ровно шестую часть от всей длины окружности целиком.

Вписанный угол на ту же дугу. Центральный угол, опирающийся на дугу, равен $\theta=60^\circ$, как найдено в первом примере.

Вписанный угол на ту же дугу равен половине центрального: $\gamma=\frac{60^\circ}{2}=30^\circ$.

Такое соотношение верно для любой точки окружности, из которой виден вписанный угол на данную дугу, а не только для одной конкретной позиции. Это свойство называют теоремой о вписанном угле.

Частые ошибки

• Забывают перевести угол из радианов в градусы, оставляя ответ в виде дроби с числом пи.
• Путают центральный угол с вписанным и не делят результат пополам для вписанного угла.
• Делят длину дуги на диаметр вместо радиуса, получая результат вдвое меньше нужного.

Коротко

Итог: как найти угол по дуге окружности — разделить длину дуги на радиус, а для перевода в градусы умножить результат на 180 и разделить на число π. Вписанный угол, опирающийся на ту же дугу, всегда равен половине центрального угла.