Как найти угол с помощью синуса

Как найти угол с помощью синуса — берут арксинус от уже известного значения синуса: α = arcsin(sin α). Если синус получен из прямоугольного треугольника как отношение противолежащего катета к гипотенузе, тот же арксинус применяют к этому отношению сторон. В произвольном треугольнике угол находят через теорему синусов, а поскольку арксинус даёт значение только от −90° до 90°, для тупого угла берут 180° минус найденное значение.

$\alpha = \arcsin(x)$

Разбор по случаям

Примеры

Прямоугольный треугольник. Катеты прямоугольного треугольника равны $a = 9$ см и $b = 12$ см, гипотенуза $c = \sqrt{9^2+12^2} = 15$ см.

Угол α лежит против катета 9 см, поэтому $\sin\alpha = 9/15 = 0{,}6$, а $\alpha = \arcsin(0{,}6) \approx 36{,}9^\circ$.

Неоднозначный случай. В треугольнике известен угол $\alpha = 130^\circ$, а по теореме синусов для второго угла получено $\sin\beta = 0{,}6$.

Формально $\beta \approx 36{,}9^\circ$ или $\beta \approx 143{,}1^\circ$, но сумма углов не может превышать 180°, поэтому подходит только $\beta \approx 36{,}9^\circ$.

Частые ошибки

• Забывают про вторую, тупую ветвь арксинуса и проверяют только острый угол, хотя решений может быть два.
• Путают, какая именно сторона треугольника стоит против искомого угла, при подстановке в теорему синусов.
• Не проверяют, что сумма всех найденных углов треугольника равна 180°, и оставляют неверный из двух вариантов.

Коротко

Как найти угол с помощью синуса — через арксинус числового значения, через стороны прямоугольного треугольника или через теорему синусов для произвольного треугольника. В неоднозначном случае арксинус даёт два кандидата, и верный выбирают по сумме углов треугольника, как в примере с углом около 36,9°.