Как найти угол трапеции, зная стороны

Как найти угол трапеции, зная стороны: из вершины меньшего основания опускают высоту на большее основание и получают прямоугольный треугольник, где катетом служит разность оснований, делённая пополам для равнобедренной трапеции, а гипотенузой — боковая сторона. Угол между боковой стороной и большим основанием находят через косинус этого треугольника.

$\cos\alpha = \dfrac{a-b}{2c}$

Разбор по случаям

Примеры

Равнобедренная трапеция. В равнобедренной трапеции основания равны $a = 14$ см и $b = 8$ см, боковая сторона равна $c = 5$ см. Разность оснований делят пополам: $\dfrac{14-8}{2} = 3$ см — это катет прямоугольного треугольника с гипотенузой $c = 5$ см.

Косинус угла при большем основании равен $\cos\alpha = \dfrac{3}{5} = 0{,}6$, откуда $\alpha = 53{,}13^\circ$.

Угол при меньшем основании равен $\beta = 180^\circ - 53{,}13^\circ = 126{,}87^\circ$.

Прямоугольная трапеция. В прямоугольной трапеции основания равны $a = 10$ см и $b = 6$ см, боковая наклонная сторона равна $c = 5$ см.

Здесь вся разность оснований $10-6=4$ см служит катетом сразу, без деления пополам: $\cos\alpha = \dfrac{4}{5} = 0{,}8$, откуда $\alpha = 36{,}87^\circ$.

Второй угол трапеции у той же боковой стороны прямой и равен $90^\circ$.

Проверка суммой: $36{,}87^\circ+90^\circ+90^\circ+143{,}13^\circ=360^\circ$, как и должно быть у любого четырёхугольника.

Частые ошибки

• Делят разность оснований пополам даже в прямоугольной трапеции, где катетом служит вся разность целиком.
• Путают острый угол при большем основании с тупым углом при меньшем основании равнобедренной трапеции, хотя их сумма равна 180 градусам.
• Подставляют в косинус боковую сторону вместо высоты, хотя гипотенузой прямоугольного треугольника выступает именно боковая сторона трапеции.

Коротко

Как найти угол трапеции, зная стороны, — опустить высоту, получить прямоугольный треугольник и найти угол через косинус отношения катета к боковой стороне. В равнобедренной трапеции с основаниями 14 и 8 см угол составил 53,13 градуса, а в прямоугольной с основаниями 10 и 6 см — 36,87 градуса.