Как найти угол усечённого конуса, зная диаметр

Как найти угол усечённого конуса, зная диаметр, начинают с перевода диаметров в радиусы: радиус большего основания и радиус меньшего основания. Разность этих радиусов — это горизонтальный катет прямоугольного треугольника осевого сечения, а высота конуса — второй катет, противолежащий искомому углу. Угол наклона образующей к плоскости основания равен арктангенсу отношения высоты к разности радиусов. Если вместо высоты известна длина самой образующей конуса, тот же угол находят через арксинус или арккосинус в том же прямоугольном треугольнике, и результат должен совпасть.

$\tan\alpha = \dfrac{h}{R-r}$

Разбор по случаям

Примеры

По диаметрам и высоте. Диаметры оснований усечённого конуса равны $D = 20$ см и $d = 12$ см, высота $h = 8$ см. Радиусы равны $R = 10$ см и $r = 6$ см, их разность $R - r = 4$ см.

Тогда $\tan\alpha = 8/4 = 2$, откуда угол наклона образующей к основанию $\alpha = \arctan(2) \approx 63{,}4^\circ$.

Проверка через образующую. При тех же радиусах $R = 10$ см, $r = 6$ см и высоте $h = 8$ см длина образующей равна $l = \sqrt{4^2+8^2} = \sqrt{80} \approx 8{,}9$ см.

Тогда $\cos\alpha = 4/8{,}9 \approx 0{,}449$, что даёт тот же угол $\alpha \approx 63{,}4^\circ$ — вычисления сходятся.

Частые ошибки

• Подставляют в формулу диаметры вместо радиусов и получают угол вдвое меньше или больше настоящего.
• Путают угол наклона образующей к основанию с углом наклона той же образующей к оси конуса.
• Забывают, что в формулу входит разность радиусов, а не их сумма или больший радиус отдельно, и получают заниженный угол.

Коротко

Как найти угол усечённого конуса, зная диаметр, всегда сводится к прямоугольному треугольнику: катетами служат высота конуса и разность радиусов оснований. Тангенс их отношения и даёт угол наклона боковой поверхности к плоскости основания.