Как найти угол, зная дугу

Как найти угол, зная дугу: если вершина угла лежит в центре окружности, центральный угол просто равен градусной мере дуги, на которую он опирается. Если вершина угла лежит на самой окружности, вписанный угол равен половине той же дуги. Угол между касательной и хордой тоже равен половине дуги, которую эта хорда отсекает, — как и вписанный угол, опирающийся на ту же дугу.

$\alpha_{ins} = \dfrac{\alpha_{arc}}{2}$

Разбор по случаям

Примеры

Центральный угол. Дуга $AB$ окружности равна $80°$. Центральный угол $\angle AOB$, который опирается на эту дугу, равен её градусной мере напрямую: $\angle AOB = 80°$. Вершина угла совпадает с центром окружности, поэтому дополнительных вычислений не требуется — угол просто переписывают из значения дуги без деления.

Вписанный угол. Дуга $CD$ той же окружности равна $130°$. Вписанный угол $\angle C$, вершина которого лежит на окружности и опирается на дугу $CD$, равен половине её градусной меры: $\angle C = 130° / 2 = 65°$. Такой угол вдвое меньше центрального угла, опирающегося на ту же дугу окружности.

Частые ошибки

• Считают вписанный угол равным дуге напрямую, забывая разделить её значение пополам перед ответом.
• Путают центральный угол с вписанным и применяют не ту формулу для конкретного положения вершины угла.
• Переводят длину дуги в градусы без учёта радиуса окружности, хотя это принципиально разные единицы измерения.

Коротко

Как найти угол, зная дугу, зависит от положения вершины этого угла: в центре окружности угол равен дуге напрямую, а на самой окружности — только половине дуги. Угол между касательной и хордой считается точно так же, как вписанный угол, — тоже половиной той же дуги.