Как найти угол вектора

Как найти угол вектора: если вектор задан координатами x и y, угол к положительному направлению оси абсцисс находят через тангенс — делят координату y на координату x и берут арктангенс, с поправкой на четверть, где лежит вектор. Если уже известна длина вектора, угол проще найти через косинус или синус как отношение нужной координаты к длине. Когда вектор задан двумя точками, сначала находят его координаты как разность координат конца и начала, а затем применяют ту же формулу.

$\theta = \arctan\left(\frac{y}{x}\right)$

Разбор по случаям

Примеры

Угол вектора к оси. Вектор задан координатами $\vec a = (3; 4)$.

Длина вектора равна $|\vec a| = \sqrt{3^2+4^2} = \sqrt{25} = 5$.

Косинус угла к оси абсцисс: $\cos\theta = 3/5 = 0{,}6$, синус: $\sin\theta = 4/5 = 0{,}8$.

По таблице значений это соответствует углу $\theta \approx 53{,}13^\circ$.

Вектор лежит в первой четверти, поэтому поправка на четверть не нужна, и найденный угол — окончательный ответ.

Угол между двумя векторами. Даны векторы $\vec a = (3; 4)$ и $\vec b = (4; -3)$.

Их скалярное произведение: $\vec a\cdot\vec b = 3\cdot4+4\cdot(-3) = 12-12 = 0$.

Длины векторов равны $|\vec a| = |\vec b| = 5$.

Косинус угла: $\cos\theta = 0/(5\cdot5) = 0$, значит $\theta = 90^\circ$.

Нулевое скалярное произведение всегда означает, что векторы перпендикулярны друг другу.

Частые ошибки

• Находят арктангенс отношения y к x и забывают учесть, в какой четверти лежит вектор.
• Путают угол вектора к оси с углом между двумя векторами и берут не ту формулу.
• Извлекают координаты вектора из точек в обратном порядке — из начала вычитают конец.

Коротко

Как найти угол вектора — через арктангенс отношения координат, если нужен угол к оси, или через скалярное произведение, если ищут угол между двумя векторами. Для вектора (3; 4) угол к оси абсцисс равен примерно 53,13°, а для векторов (3; 4) и (4; -3) угол между ними равен 90°.