Как найти величину угла треугольника

Как найти величину угла треугольника, зависит от того, что уже известно в условии задачи. Если известны два других угла, третий находят по сумме: γ = 180° − (α + β). Если известны все три стороны, применяют теорему косинусов: cos(γ) = (a² + b² − c²) / (2ab). Если известны две стороны и угол напротив одной из них, используют теорему синусов: sin(α)/a = sin(β)/b. В прямоугольном треугольнике острый угол находят как 90° минус второй известный острый угол.

$\cos(\gamma) = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$

Разбор по случаям

Примеры

По сумме углов. В треугольнике известны углы $\alpha = 50^\circ$ и $\beta = 70^\circ$.

Третий угол: $\gamma = 180^\circ - (50^\circ + 70^\circ) = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$.

Такой расчёт всегда работает, если известны любые два угла треугольника из трёх возможных.

По теореме косинусов. Стороны треугольника равны $3\text{ см}$, $4\text{ см}$ и $5\text{ см}$, угол ищут напротив самой длинной стороны $5\text{ см}$. $\cos(\gamma) = \frac{9 + 16 - 25}{2 \cdot 3 \cdot 4} = \frac{0}{24} = 0$.

Значит, угол $\gamma = 90^\circ$, и треугольник оказался прямоугольным, что легко проверить по теореме Пифагора.

Частые ошибки

• Иногда складывают все три стороны вместо того, чтобы правильно подставить их в формулу теоремы косинусов.
• Путают, какая именно сторона лежит напротив искомого угла, при использовании теоремы синусов.
• Забывают, что сумма всех углов любого треугольника равна именно 180°, а не 360° градусов.

Коротко

Как найти величину угла треугольника, определяют исходя из данных условия: два известных угла дают третий по простой сумме 180°, три стороны решаются теоремой косинусов, а сторона с противолежащим углом — теоремой синусов. Способ выбирают по тому, что уже отмечено на чертеже или в самом условии задачи.