Как найти внутренний угол многоугольника

Сумма внутренних углов любого многоугольника с n сторонами равна (n − 2), умноженному на 180°. Как найти внутренний угол многоугольника, если он правильный: сумму делят поровну между всеми вершинами, получая формулу (n − 2) · 180° / n. Для неправильного многоугольника каждый угол находят иначе — из общей суммы вычитают уже известные углы, а оставшуюся разность относят к искомой вершине фигуры.

$\alpha = \dfrac{(n-2) \cdot 180^\circ}{n}$

Разбор по случаям

Примеры

правильный шестиугольник. Правильный многоугольник имеет $n = 6$ равных сторон и равных углов.

Сначала находим сумму всех внутренних углов по общей формуле: $S = (6-2) \cdot 180^\circ = 4 \cdot 180^\circ = 720^\circ$.

Поскольку фигура правильная, делим эту сумму поровну на все шесть вершин: $\alpha = 720^\circ / 6 = 120^\circ$.

Каждый внутренний угол правильного шестиугольника равен $120^\circ$, а соответствующий ему внешний угол при этом составляет $60^\circ$.

Проверка суммой: $120^\circ \cdot 6 = 720^\circ$, что совпадает с найденной суммой всех углов.

неправильный пятиугольник. Пятиугольник со сторонами разной длины имеет $n = 5$ вершин, значит сумма всех его внутренних углов равна $S = (5-2) \cdot 180^\circ = 540^\circ$.

По условию задачи четыре угла фигуры уже известны из чертежа: $100^\circ$, $110^\circ$, $120^\circ$ и $130^\circ$, а в сумме они составляют $460^\circ$.

Оставшийся неизвестным пятый угол находим простым вычитанием из общей суммы всех углов: $\alpha_5 = 540^\circ - 460^\circ = 80^\circ$.

Проверка: $100^\circ+110^\circ+120^\circ+130^\circ+80^\circ=540^\circ$ — сумма совпала с расчётной.

Частые ошибки

• Путают формулу суммы углов с формулой одного угла и забывают деление на число сторон n.
• Считают число сторон многоугольника по числу видимых на чертеже вершин без учёта скрытых или совпадающих точек.
• Для неправильного многоугольника применяют формулу правильного, хотя углы там разные и делить поровну нельзя.

Коротко

Сумма углов многоугольника зависит только от числа сторон, а для правильной фигуры внутренний угол получают делением суммы на количество вершин. Разобравшись, как найти внутренний угол многоугольника, легко решить и обратную задачу — определить число сторон по известному углу.