Как складывать векторы и находить их длину

Разбираясь, как складывать векторы и находить их длину, координаты суммы находят покоординатно: $c_x = a_x + b_x$, $c_y = a_y + b_y$. Геометрически сумму строят по правилу треугольника: конец первого вектора совмещают с началом второго, а сумма идёт из начала первого в конец второго.

Когда координаты суммы найдены, длину вычисляют по формуле $|c| = \sqrt{c_x^2 + c_y^2}$ — точно так же, как длину любого другого вектора на плоскости.

Разбор по случаям

Примеры

Два вектора по координатам. Даны векторы $\vec{a}(3; 1)$ и $\vec{b}(2; 3)$. Складываем их покоординатно: $c_x = 3 + 2 = 5$, $c_y = 1 + 3 = 4$. Получаем вектор суммы $\vec{c}(5; 4)$.

Его длина: $|c| = \sqrt{5^2 + 4^2} = \sqrt{25 + 16} = \sqrt{41} \approx 6{,}4$.

Проверка: возведя длину в квадрат, получаем сумму квадратов координат: $6{,}4^2 \approx 41$, что совпадает с суммой $25 + 16$.

Перпендикулярные векторы по длинам. Пусть $|a| = 6$, $|b| = 8$, а угол между векторами равен $90^\circ$.

По формуле для перпендикулярных векторов: $|a+b| = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$.

Длина суммы двух перпендикулярных векторов равна 10. Проверка: стороны $6$, $8$ и $10$ образуют прямоугольный треугольник, поскольку $6^2 + 8^2 = 10^2$.

Частые ошибки

• Складывают длины векторов напрямую вместо их координат и получают неверную длину суммы, кроме редкого случая, когда оба вектора сонаправлены и лежат на одной прямой.
• Забывают косинус угла в формуле теоремы косинусов и считают длину суммы как для перпендикулярных векторов даже при другом угле.
• Путают правило треугольника с правилом параллелограмма и неверно строят вектор суммы на чертеже.

Коротко

Чтобы понять, как складывать векторы и находить их длину, координаты векторов складывают отдельно по x и по y, а длину суммы вычисляют по теореме Пифагора или через теорему косинусов, если известен угол между векторами. Оба способа дают один и тот же результат.