Что такое экстремум функции

Экстремум функции — это точка, в которой функция принимает наибольшее или наименьшее значение по сравнению со всеми соседними точками своей области определения. Что такое экстремум функции, определяет производная: в такой точке она равна нулю или не существует и при этом меняет знак — с плюса на минус в максимуме, с минуса на плюс в минимуме. Стационарная точка без смены знака производной экстремумом не считается.

$f'(x_0) = 0$

Разбор по случаям

Примеры

Максимум параболы. Для функции $y = -x^2 + 4x - 1$ производная равна $y' = -2x + 4$. Приравняв её к нулю, получаем $x_0 = 2$, а слева от этой точки производная положительна, справа отрицательна, значит это максимум. Значение функции в нём равно $y(2) = -4 + 8 - 1 = 3$, то есть точка экстремума имеет координаты $(2; 3)$ и это наибольшее значение параболы среди соседних точек.

Максимум и минимум кубической функции. У функции $y = x^3 - 3x$ производная $y' = 3x^2 - 3$ обращается в ноль при $x = -1$ и $x = 1$. В точке $x = -1$ знак меняется с плюса на минус — это максимум со значением $y(-1) = 2$, а в точке $x = 1$ знак меняется с минуса на плюс — это минимум со значением $y(1) = -2$.

Частые ошибки

• Любую точку, где производная равна нулю, называют экстремумом, не проверяя смену знака производной вокруг неё.
• Локальный максимум считают наибольшим значением функции на всей области определения, хотя рядом или дальше функция может принимать и большие значения.
• Забывают проверить точки, где производная не существует, хотя в угловых точках графика тоже может быть экстремум.

Коротко

Что такое экстремум функции, показывает смена знака производной вблизи критической точки: переход с плюса на минус даёт локальный максимум, а с минуса на плюс — локальный минимум. Если знак производной не меняется, точка остаётся стационарной, но экстремумом не становится.