Что такое предел функции

Предел функции — это число, к которому неограниченно приближаются значения функции $f(x)$, когда аргумент $x$ приближается к некоторой точке $a$, не обязательно достигая её. Что такое предел функции, записывают так: $\lim_{x \to a} f(x) = L$, где $L$ и есть искомый предел. Предел может существовать даже там, где сама функция в точке $a$ не определена, ведь важно поведение функции рядом с точкой, а не значение точно в ней.

Разбор по случаям

Примеры

Предел линейной функции. Для функции $f(x) = x + 1$ находим предел при $x \to 3$: функция определена везде, поэтому подставляем аргумент прямо в формулу и получаем $\lim_{x \to 3} (x+1) = 4$. Значения функции при $x$, близких к 3, приближаются именно к числу 4 с обеих сторон точки. Такое совпадение односторонних пределов и подтверждает, что предел функции в этой точке существует и равен 4.

Предел функции с разрывом. Для функции $f(x) = \frac{x^2-4}{x-2}$ при $x \ne 2$ упрощаем: $f(x) = x+2$, поэтому $\lim_{x \to 2} f(x) = 4$. Сама функция в точке $x=2$ не определена, ведь знаменатель обращается в ноль, но предел всё равно существует и равен 4. Пример показывает главное отличие предела от значения функции: предел описывает поведение рядом с точкой, а не саму эту точку.

Частые ошибки

• Предел функции путают со значением функции в точке, хотя предел описывает поведение рядом с точкой, а не обязательно значение в ней.
• Считают, что предел не существует, если функция в самой точке не определена, забывая проверить поведение функции рядом с точкой.
• Односторонние пределы слева и справа принимают за один и тот же предел, не проверив, что они совпадают между собой.

Коротко

Что такое предел функции, определяет число, к которому стремятся значения функции при приближении аргумента к заданной точке или к бесконечности. Предел может существовать и тогда, когда сама функция в этой точке не определена, ведь важно поведение функции рядом с точкой.