Что такое область определения функции

Область определения функции — это множество всех значений аргумента x, при которых функция имеет смысл и может быть вычислена. Обозначают её D(f) или D(y). Ограничения возникают там, где формула теряет смысл: деление на ноль, отрицательное подкоренное выражение или неположительный аргумент логарифма. У многочлена таких ограничений нет, и его область определения — вся числовая прямая. Ответ на вопрос, что такое область определения функции, простой: это допустимые значения аргумента.

$D(f) \subseteq \mathbb{R}$

Разбор по случаям

Примеры

Область определения дроби. Для функции $y = \frac{1}{x-3}$ знаменатель не может равняться нулю: $x - 3 \neq 0$, значит $x \neq 3$.

Область определения — это все числа, кроме $3$: $D(y) = (-\infty; 3) \cup (3; +\infty)$.

При $x = 3$ формула теряет смысл, потому что делить на ноль нельзя, а при любом другом значении функция вычисляется без проблем. Такую запись через объединение промежутков часто используют в старших классах. Проверить область определения удобно, подставив опасное значение в знаменатель.

Область определения корня. Для функции $y = \sqrt{x-2}$ подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $x - 2 \geq 0$, откуда $x \geq 2$. Область определения — луч $D(y) = [2; +\infty)$, включая саму точку $2$, где корень равен нулю. При $x < 2$ под корнем оказалось бы отрицательное число, а корень из отрицательного числа среди действительных чисел не существует. Такой луч на числовой прямой начинается в точке 2 и уходит вправо до бесконечности.

Частые ошибки

• Считают, что область определения всегда все действительные числа, забывая проверить знаменатель, корень или логарифм на ограничения.
• Путают область определения с областью значений: первая про допустимые x, вторая про допустимые значения y.
• Забывают исключить точку x = 3 из ответа, хотя формула определена при всех остальных значениях аргумента.

Коротко

Область определения функции — это все допустимые значения аргумента, при которых формула сохраняет смысл. Ответ на вопрос, что такое область определения функции, стоит запомнить вместе с примерами: дробь запрещает ноль в знаменателе, а корень — отрицательное число под собой.