Что такое область значения функции

Область значения функции — это множество всех значений y, которые функция принимает при допустимых значениях x из области определения. Его обозначают E(f) и находят по графику, по формуле или перебором значений выражения в школьном курсе алгебры. Когда спрашивают, что такое область значения функции, имеют в виду именно это множество y, а не множество x, с которым его часто путают на практике.

Разбор по случаям

Примеры

Линейная функция. Функция $y = x + 2$ линейная, поэтому её график — прямая, которая бесконечно тянется вверх и вниз, не останавливаясь нигде. При $x = 0$ получаем $y = 2$, при $x = 2$ получаем $y = 4$, а при $x = 6$ получаем $y = 8$: подставляя любое число, всегда находится подходящий y. Область значений здесь совпадает со всеми действительными числами, потому что прямая не имеет ни верхней, ни нижней границы: $E(f) = \mathbb{R}$.

Квадратичная функция. Функция $y = x^2 - 4$ квадратичная: её график — парабола с вершиной в точке $(0; -4)$, ветви которой направлены вверх. При $x = 0$ получаем $y = -4$, при $x = 2$ получаем $y = 0$, а при $x = -3$ получаем $y = 5$: меньше $-4$ значение y опуститься не может. Область значений здесь ограничена снизу вершиной параболы и тянется вверх до бесконечности без верхней границы, $E(f) = [-4; +\infty)$.

Частые ошибки

• Ученик путает область значений с областью определения, называя множеством y то, что на самом деле относится к x.
• Область значений параболы считают всей числовой прямой, забывая учесть ограничение по вершине.
• Из графика выписывают значения по горизонтальной оси вместо вертикальной, перепутав оси.

Коротко

Итак, что такое область значения функции, определяется просто: это множество всех y, которые получаются при допустимых x. У линейных функций оно обычно все действительные числа, а у квадратичных и тригонометрических — ограничено сверху или снизу очевидными правилами.