Что такое производная функции

Производная функции — это предел отношения приращения функции к приращению аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю. Что такое производная функции, показывает геометрический смысл: значение производной в точке равно угловому коэффициенту касательной к графику в этой точке. Физически производная описывает мгновенную скорость изменения величины, например скорость как производную координаты по времени, а ускорение — как производную скорости по времени. Если производная положительна, функция возрастает, если отрицательна — убывает.

$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$

Разбор по случаям

Примеры

f(x) = x² в точке x = 2. По степенному правилу $f'(x) = 2x$, поэтому в точке $x = 2$ производная равна $f'(2) = 4$. Это значение — угловой коэффициент касательной к параболе в этой точке: график в окрестности точки $x=2$ поднимается настолько круто, что при увеличении $x$ на единицу функция растёт примерно на $4$. Положительное значение производной подтверждает, что в этой точке функция возрастает.

f(x) = x³ − 3x в точке x = 1. Производная равна $f'(x) = 3x^2 - 3$, а в точке $x = 1$ получаем $f'(1) = 3 \cdot 1 - 3 = 0$. Нулевая производная означает горизонтальную касательную: в этой точке функция не растёт и не убывает мгновенно, что указывает на возможный экстремум. Слева от точки $x=1$ производная отрицательна, а справа положительна, значит там минимум. Так по знаку производной определяют не только рост функции, но и точки экстремума.

Частые ошибки

• Считают производную самой функцией, а не отдельной функцией, показывающей скорость её изменения.
• Забывают правило производной произведения и умножают производные множителей по отдельности.
• Путают производную постоянной с производной степенной функции первой степени, хотя (C)' = 0, а (x)' = 1.

Коротко

Что такое производная функции, определяет предел отношения приращений, который равен угловому коэффициенту касательной и мгновенной скорости изменения величины. Таблица производных для степенных, тригонометрических и показательных функций вместе с правилами суммы и произведения позволяет находить её без вычисления предела напрямую.