Что такое нули функции

Нуль функции — это значение аргумента x, при котором значение функции равно нулю: f(x) = 0. Геометрически нуль функции — точка, где график пересекает или касается оси абсцисс. У функции может быть несколько нулей, один или ни одного, в зависимости от её вида. Что такое нули функции, проще понять по графику: достаточно найти все точки, где линия графика соприкасается с горизонтальной осью координат.

$f(x) = 0$

Разбор по случаям

Примеры

Нули параболы. Для функции $y = x^2 - 5x + 6$ дискриминант равен $D = 25 - 24 = 1$. Корни уравнения: $x_1 = \frac{5-1}{2} = 2$ и $x_2 = \frac{5+1}{2} = 3$. Значит, у функции два нуля: $x=2$ и $x=3$, и график параболы пересекает ось абсцисс именно в этих точках, меняя знак с плюса на минус и обратно.

Функция без нулей. У функции $y = x^2 + 1$ дискриминант равен $D = 0 - 4 = -4$, а он отрицателен, значит действительных корней нет. Это значит, что нулей у функции нет вовсе: график параболы целиком лежит выше оси абсцисс и никогда её не касается, потому что $x^2 \ge 0$, а к нему всегда прибавляется единица.

Частые ошибки

• Путают нули функции с точкой пересечения графика с осью Y, находя значение f(0) вместо корней уравнения f(x) = 0.
• Считают, что у каждой функции обязательно есть хотя бы один нуль, забывая про функции вроде y = x² + 1, у которых нулей нет.
• При корне чётной кратности решают, что график пересекает ось абсцисс, хотя на самом деле он только касается её.

Коротко

Итак, что такое нули функции, показывает уравнение f(x) = 0: это значения аргумента, при которых функция обращается в ноль. На графике нули видны сразу — это точки, где линия пересекает или касается оси абсцисс, а их количество зависит от вида функции.