Что такое множество значений функции

Множество значений функции — это все числа y, которые функция принимает при допустимых значениях аргумента x из её области определения. Обозначают множество значений буквой E со скобками: E(f). Что такое множество значений функции, проще понять на примере параболы: если вершина — самая нижняя точка графика, то значения не опускаются ниже её ординаты. У линейной функции с ненулевым коэффициентом наклона множество значений — все действительные числа.

$E(f) = \{ y \mid y = f(x), \ x \in D(f) \}$

Разбор по случаям

Примеры

Множество значений параболы на отрезке. Функция $f(x) = \frac{(x-4)^2}{4}$ рассматривается на отрезке $x \in [0; 8]$. В вершине параболы при $x = 4$ значение функции наименьшее: $f(4) = 0$.

На концах отрезка значение наибольшее: $f(0) = f(8) = \frac{16}{4} = 4$.

Промежуточная точка $x = 6$ даёт $f(6) = \frac{4}{4} = 1$ — это значение тоже попадает внутрь найденного отрезка. Значит, множество значений функции на этом отрезке — отрезок $E(f) = [0; 4]$, и других значений функция здесь не принимает.

Множество значений линейной функции. Функция $y = 2x - 1$ определена для всех x, поэтому и множество её значений — все действительные числа: $E(f) = \mathbb{R}$. Например, при $x = 0$ получаем $y = -1$, а при $x = 5$ получаем $y = 9$ — любое число можно получить, подобрав подходящий x. Даже очень большое или очень маленькое значение y всегда найдёт свой аргумент x, потому что коэффициент наклона у прямой не равен нулю и график идёт без ограничений в обе стороны.

Частые ошибки

• Путают множество значений функции с областью определения, хотя первое относится к y, а второе — к x.
• Считают, что у любой параболы множество значений — все действительные числа, забывая про ограничение вершиной.
• Не учитывают ограничение области определения отрезком и указывают множество значений шире, чем оно есть на самом деле, не проверяя значения на концах отрезка.

Коротко

Множество значений функции показывает, какие числа y функция способна принять при подходящих значениях x, и обозначается E(f). Что такое множество значений функции, легко проверить по графику: достаточно посмотреть, до какой высоты и в какую сторону поднимается или опускается кривая.