Что такое монотонность функции

Монотонность функции — это свойство, при котором функция на промежутке либо только возрастает, либо только убывает при увеличении аргумента. Что такое монотонность функции, показывает сравнение значений: если большему значению аргумента соответствует большее значение функции, она возрастает, если меньшее — убывает. Функцию считают монотонной именно на промежутке, а не обязательно на всей области определения сразу.

$x_2 > x_1 \Rightarrow f(x_2) > f(x_1)$

Разбор по случаям

Примеры

Парабола $y = x^2$ на промежутке $[0; 2]$. На промежутке $[0; 2]$ функция $y = x^2$ возрастает: при $x_1 = 1$ значение $y_1 = 1$, а при $x_2 = 2$ значение $y_2 = 4$, и большему аргументу соответствует большее значение функции. На промежутке слева от нуля та же функция убывает, поэтому вся парабола целиком немонотонна, а монотонна лишь по отдельным промежуткам справа и слева от вершины. Пример подходит под определение именно потому, что сравнение проведено внутри одного промежутка, а не по всей области определения функции сразу.

Прямая $y = -2x + 3$. Функция $y = -2x + 3$ убывает на всей области определения: при $x_1 = 0$ значение $y_1 = 3$, а при $x_2 = 2$ значение $y_2 = -1$, то есть большему аргументу соответствует меньшее значение функции. Отрицательный коэффициент перед $x$ в линейной функции всегда означает убывание на каждом промежутке. Здесь неравенство выполняется для любых двух точек графика, поэтому функция монотонна не на части, а сразу на всей числовой прямой.

Частые ошибки

• Монотонность приписывают всей функции сразу, хотя парабола и подобные графики монотонны лишь по отдельным промежуткам.
• Возрастание путают с положительными значениями функции, хотя монотонность зависит только от направления изменения, а не от знака.
• Знак коэффициента при переменной в линейной функции не связывают с направлением возрастания или убывания графика.

Коротко

Что такое монотонность функции, определяет направление изменения значений при движении вдоль оси аргумента: рост, убывание или их чередование по промежуткам. Проверяют это сравнением двух произвольных значений аргумента и соответствующих им значений функции.