Что такое приращение функции

Приращение функции — это разность между новым и старым значением функции при изменении аргумента: $\Delta y = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)$, где $\Delta x$ — приращение аргумента.

Оно показывает, насколько выросло или уменьшилось значение функции при переходе от точки $x_0$ к точке $x_0 + \Delta x$. Приращение может быть положительным, отрицательным или равным нулю. Такую разность имеют в виду, когда спрашивают, что такое приращение функции, при изучении производной.

Разбор по случаям

Примеры

Приращение линейной функции. Для функции $y = x + 1$ найдём приращение при переходе от $x_0 = 1$ к $x_0 + \Delta x = 3$, то есть $\Delta x = 2$. Значения функции: $f(1) = 2$, $f(3) = 4$. Приращение функции равно $\Delta y = 4 - 2 = 2$. Функция растёт, поэтому приращение положительное и пропорционально приращению аргумента. Этот пример подходит под определение: мы взяли новое и старое значение функции и нашли их разность, а не просто изменение самого аргумента.

Приращение квадратичной функции. Для функции $y = x^2$ возьмём $x_0 = 2$ и $\Delta x = 1$, тогда новая точка $x_0 + \Delta x = 3$. Значения функции: $f(2) = 4$, $f(3) = 9$. Приращение функции равно $\Delta y = 9 - 4 = 5$. В отличие от линейной функции, приращение здесь зависит не только от $\Delta x$, но и от самой точки $x_0$. Если взять $x_0 = 0$ при том же шаге $\Delta x = 1$, получим $f(0) = 0$, $f(1) = 1$, а значит $\Delta y = 1$, а не $5$: разность значений функции меняется вместе с исходной точкой, и в этом суть определения приращения.

Частые ошибки

• Приращение функции путают с приращением аргумента, забывая, что это разные величины с разным смыслом.
• Значения функции в двух точках вычитают в обратном порядке, теряя знак приращения и его смысл.
• Приращение считают только положительным числом, не учитывая, что функция может убывать на участке.

Коротко

Приращение функции — это разность значений функции в конечной и начальной точке при изменении аргумента на $\Delta x$. Понимание того, что такое приращение функции, необходимо для перехода к понятию производной и изучению скорости изменения функции.