Что такое тригонометрические функции

Тригонометрические функции — это функции угла, которые задают отношения сторон прямоугольного треугольника или координаты точки на единичной окружности: синус, косинус, тангенс и котангенс. Синус угла равен отношению противолежащего катета к гипотенузе, косинус — отношению прилежащего катета к гипотенузе, а тангенс — отношению синуса к косинусу. Значения этих функций периодически повторяются при повороте на полный угол. Именно об этом речь, когда спрашивают, что такое тригонометрические функции на уроках геометрии и алгебры.

$\sin \alpha = \frac{a}{c}, \ \cos \alpha = \frac{b}{c}, \ \operatorname{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$

Разбор по случаям

Примеры

Треугольник со сторонами 3, 4, 5. В прямоугольном треугольнике катеты равны $a = 3$ см и $b = 4$ см, а гипотенуза равна $c = 5$ см — перед нами известная школьная тройка Пифагора.

Тогда $\sin \alpha = 3/5 = 0{,}6$, $\cos \alpha = 4/5 = 0{,}8$, а $\operatorname{tg} \alpha = 3/4 = 0{,}75$, и котангенс того же угла равен $4/3 \approx 1{,}33$.

Это классический школьный пример, где сразу все тригонометрические функции острого угла получаются простыми рациональными числами без калькулятора и таблиц.

Табличные значения для угла 30 градусов. На единичной окружности углу $\alpha = 30°$ соответствуют координаты точки $x = \cos 30° \approx 0{,}87$ и $y = \sin 30° = 0{,}5$.

Такие табличные значения синуса, косинуса и тангенса для углов 30, 45 и 60 градусов ученики обычно заучивают наизусть заранее, чтобы уверенно решать задачи по геометрии и физике без калькулятора и справочных таблиц под рукой на контрольной работе.

Частые ошибки

• Синус и косинус угла путают местами, забывая, какой катет считается противолежащим, а какой прилежащим.
• Тангенс вычисляют как отношение катета к гипотенузе, хотя это отношение синуса к косинусу.
• Считают, что тригонометрические функции существуют только для острых углов треугольника, и не учитывают их значения для тупых углов на окружности.

Коротко

Что такое тригонометрические функции, показывают четыре величины — синус, косинус, тангенс и котангенс, — которые связывают угол с отношением сторон прямоугольного треугольника или координатами точки на единичной окружности. Их значения периодичны и табличны для стандартных углов вроде 30, 45, 60 и 90 градусов.