Как найти функцию распределения

Эта функция показывает вероятность того, что случайная величина примет значение строго меньше заданного числа.

МатематикаОбновлено 9 сентября 2026 г.3 мин чтения

Как найти функцию распределения?

Нейросова

Как найти функцию распределения: для дискретной случайной величины складывают вероятности всех её значений, которые строго меньше заданного числа x. Функция определена формулой $F(x) = P(X < x)$ , принимает значения от 0 до 1, не убывает и стремится к единице при неограниченном росте аргумента x. Слева от наименьшего значения величины функция равна нулю, а справа от наибольшего значения — единице.

Вероятность попадания в интервал равна разности функции распределения на границах 3,5 и 1,5 и составляет 0,8 — Вероятность интервала равна разности значений функции

Разбор по случаям

Что известно	Формула	Когда применять
дан ряд распределения дискретной случайной величины	$F(x) = \sum_{x_i < x} p_i$	нужно построить функцию распределения по таблице значений и вероятностей
известна плотность распределения непрерывной случайной величины	$F(x) = \int_{-\infty}^{x} f(t)\,dt$	случайная величина непрерывна и задана функцией плотности
нужно найти вероятность попадания в интервал	$P(a \le X < b) = F(b) - F(a)$	известна функция распределения и границы интервала
аргумент x меньше наименьшего или больше наибольшего значения величины	$F(x) = 0$	точка находится левее всех значений случайной величины
аргумент x больше или равен наибольшему значению величины	$F(x) = 1$	точка находится правее всех возможных значений случайной величины
нужна вероятность того, что величина не меньше заданного значения	$P(X \ge x) = 1 - F(x)$	используют переход к противоположному событию через дополнение функции распределения до единицы

Примеры

Дискретная величина с тремя значениями. Случайная величина принимает значения $1$ , $2$ , $3$ с вероятностями $p_1 = 0{,}2$ , $p_2 = 0{,}5$ , $p_3 = 0{,}3$ , а сумма всех трёх вероятностей равна единице.

Для $x = 2{,}5$ функция распределения равна сумме вероятностей значений меньше $2{,}5$ : $F(2{,}5) = 0{,}2+0{,}5 = 0{,}7$ .

Значит, вероятность того, что величина окажется меньше $2{,}5$ , равна $0{,}7$ , а не $0{,}3$ .

Проверка: вероятность противоположного события $P(X \ge 2{,}5) = 1 - 0{,}7 = 0{,}3$ совпадает с вероятностью значения $3$ .

Вероятность попадания в интервал. Для той же величины известно, что $F(1{,}5) = 0{,}2$ и $F(3{,}5) = 1$ .

Вероятность попадания значения в интервал от $1{,}5$ до $3{,}5$ находят через разность функций: $P(1{,}5 \le X < 3{,}5) = F(3{,}5) - F(1{,}5) = 1 - 0{,}2 = 0{,}8$ .

Этот результат совпадает с суммой вероятностей второго и третьего значений. Проверка: $0{,}5+0{,}3=0{,}8$ , значит вычисление через разность функций сделано верно.

Частые ошибки

Складывают вероятности значений, которые меньше или равны числу x, вместо строго меньше x при дискретной величине.
Путают функцию распределения с плотностью вероятности и подставляют в неё формулу интеграла напрямую без вычисления.
Забывают, что функция распределения не убывает, и в итоге получают значение F в одной точке больше, чем в следующей за ней точке.

Коротко

Как найти функцию распределения — сложить вероятности значений случайной величины меньше заданного числа или проинтегрировать плотность до этой точки. В первом примере F(2,5) получилась равной 0,7, а во втором разность функций на границах интервала дала вероятность 0,8.

Учебный бот Нейросовы

Бесплатный помощник по учёбе — не только по теме «Математика». Решит задачу по действиям, объяснит непонятное место своими словами, ответит на вопросы в конце параграфа.

Любой учебный вопрос
Понимает фото задания
Без регистрации

Спросить бота

Как найти функцию распределения

Разбор по случаям

Примеры

Частые ошибки

Коротко

Ещё по теме