Как находить область функции

Как находить область функции — проверить формулу на три типичных ограничения: знаменатель дроби не должен обращаться в нуль, подкоренное выражение под корнем чётной степени должно быть неотрицательным, а аргумент логарифма — строго положительным. Каждое условие записывают неравенством относительно x и решают его отдельно. Если функция — обычный многочлен без дробей, корней и логарифмов, ограничений нет вовсе, и переменная принимает любые действительные значения.

Разбор по случаям

Примеры

Дробь. Дана функция $f(x)=\dfrac{1}{x-3}$. Знаменатель обращается в нуль при $x-3=0$, то есть при $x=3$.

Значит область определения — все x, кроме $x=3$: $D(f)=(-\infty;3)\cup(3;+\infty)$.

Проверка: при $x=3$ получаем деление на нуль, которое не имеет смысла, а при любом другом значении дробь определена корректно. Такая функция называется гиперболой, и её график состоит из двух непрерывных ветвей, разделённых вертикальной асимптотой в точке x=3.

Квадратный корень. Дана функция $f(x)=\sqrt{x-2}$. Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $x-2\geq0$, откуда $x\geq2$. Область определения — луч $D(f)=[2;+\infty)$. Проверка: при $x=2$ получаем $f(2)=\sqrt{0}=0$, а при $x=1$ выражение под корнем отрицательно и функция не определена, что подтверждает границу области. Такое ограничение возникает всегда, когда переменная стоит под знаком квадратного или любого корня чётной степени в составе функции.

Частые ошибки

• Забывают исключить из области определения точки, где знаменатель дроби обращается в нуль.
• Составляют неравенство под корнем со знаком строгого больше вместо нестрогого и теряют граничную точку.
• Путают область определения функции с областью значений и находят не тот набор чисел.

Коротко

Как находить область функции — определить, при каких значениях переменной формула сохраняет смысл: знаменатель не обращается в нуль, подкоренное выражение неотрицательно, а аргумент логарифма положителен. Все найденные ограничения объединяют в единый набор допустимых значений переменной x.