Как находить область определения функции в 11 классе

Как находить область определения функции в 11 классе — выписать ограничение для каждой части выражения и найти их общее пересечение. Знаменатель дроби не должен обращаться в нуль: $q(x) \neq 0$. Подкоренное выражение корня чётной степени должно быть неотрицательным: $g(x) \geq 0$. Аргумент логарифма должен быть строго положительным: $h(x) > 0$. Итоговая область определения функции — пересечение всех найденных промежутков, а не их объединение.

$D(f) = \bigcap D_i$

Разбор по случаям

Примеры

Корень и дробь вместе. Дана функция $f(x) = \frac{\sqrt{x-3}}{x-5}$, в ней сразу два ограничения: корень в числителе и дробь целиком.

Для корня подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $x - 3 \geq 0$, откуда $x \geq 3$. Для дроби знаменатель не должен обращаться в нуль: $x - 5 \neq 0$, откуда $x \neq 5$. Пересекая оба условия на числовой прямой, получаем область определения $[3; 5) \cup (5; +\infty)$: точка $x = 3$ входит в ответ, а точка $x = 5$ исключена из-за деления на нуль.

Логарифм и корень вместе. Дана функция $f(x) = \ln(4 - x) + \sqrt{x + 1}$, у неё тоже два независимых ограничения, которые нужно учесть одновременно.

Для логарифма аргумент строго положителен: $4 - x > 0$, откуда $x < 4$. Для корня подкоренное выражение неотрицательно: $x + 1 \geq 0$, откуда $x \geq -1$. Пересечение двух условий на числовой прямой даёт область определения $[-1; 4)$: левая граница включена, правая исключена, потому что при $x = 4$ логарифм не определён, а других ограничений у этой функции нет.

Частые ошибки

• Для корня чётной степени забывают про знак равенства и пишут строгое неравенство, теряя граничную точку.
• Для логарифма проверяют только аргумент и забывают про ограничение на основание степени.
• Объединяют найденные условия вместо пересечения и получают более широкую область, чем есть на самом деле.

Коротко

Как находить область определения функции в 11 классе — для каждой операции: дроби, корня, логарифма — выписать своё условие и пересечь полученные промежутки. Итоговый ответ записывают в виде объединения интервалов на числовой прямой.