Как находить область определения функции с дробями

Как находить область определения функции с дробями — найти все значения x, при которых знаменатель обращается в нуль, и исключить их из ответа: $q(x) \neq 0$. Если знаменатель — квадратный трёхчлен, его раскладывают на множители или находят корни через дискриминант, а затем исключают обе найденные точки. Если в выражении несколько дробей сразу, исключают корни каждого знаменателя по отдельности, объединяя все запреты в один ответ.

Разбор по случаям

Примеры

Знаменатель — квадратный трёхчлен. Дана функция $f(x) = \frac{1}{x^2 - 5x + 6}$.

Раскладываем знаменатель на множители: дискриминант $D = 25 - 24 = 1$, корни $x = \frac{5 \pm 1}{2}$, то есть $x = 2$ и $x = 3$. Значит знаменатель равен нулю при этих двух значениях, и их нужно исключить из ответа. Область определения — вся числовая прямая, кроме точек $x = 2$ и $x = 3$: это можно записать как объединение трёх промежутков между ними, разделённых двумя выколотыми точками.

Две дроби в одном выражении. Дана функция $f(x) = \frac{1}{x-1} + \frac{1}{x+4}$.

У первой дроби знаменатель обращается в нуль при $x = 1$, у второй — при $x = -4$. Оба значения нужно исключить одновременно, потому что каждая из двух дробей должна иметь смысл на всей области определения функции с дробями. Итоговый ответ — вся числовая прямая без точек $x = -4$ и $x = 1$, других ограничений здесь нет.

Частые ошибки

• Решают уравнение q(x) = 0 неверно и теряют один из двух корней квадратного трёхчлена.
• Забывают, что при сложении нескольких дробей нужно исключить корни каждого знаменателя, а не только одного.
• Путают знак неравенства для дроби под корнем и не добавляют условие q(x) не равно нулю.

Коротко

Как находить область определения функции с дробями — исключить из ответа корни каждого знаменателя, а для квадратного трёхчлена сразу оба корня. Итоговый ответ — вся числовая прямая без этих отдельных точек.