Как найти минимум функции через производную

Как найти минимум функции через производную — вычислить $f'(x)$, приравнять к нулю и решить уравнение $f'(x) = 0$, получив критические точки функции. Минимум там, где производная меняет знак с минуса на плюс, либо где вторая производная положительна: $f''(x_0) > 0$. На отрезке дополнительно сравнивают значение в критической точке со значениями на концах отрезка, потому что минимум иногда оказывается именно на границе, а не в найденной критической точке.

Разбор по случаям

Примеры

Квадратичная функция. Дана функция $f(x) = x^2 - 4x + 3$. Находим производную по правилу дифференцирования степенной функции: $f'(x) = 2x - 4$, приравниваем её к нулю: $2x - 4 = 0$, откуда критическая точка $x_0 = 2$. Вторая производная $f''(x) = 2 > 0$ на всей области определения, значит в точке $x_0 = 2$ действительно минимум, а не максимум. Вычисляем значение функции в этой точке: $f(2) = 4 - 8 + 3 = -1$. Минимум функции равен $-1$ и достигается при $x = 2$, слева от этой точки функция убывает, а справа возрастает.

Кубическая функция. Дана функция $f(x) = x^3 - 3x^2 + 2$.

Производная $f'(x) = 3x^2 - 6x = 3x(x-2)$ равна нулю сразу в двух точках: $x_0 = 0$ и $x_0 = 2$, поэтому проверку нужно провести для каждой из них отдельно.

Вторая производная $f''(x) = 6x - 6$: при $x = 0$ она равна $-6$, то есть отрицательна, там максимум, а при $x = 2$ значение $f''(2) = 6 > 0$, значит там минимум. Считаем значение функции в найденной точке: $f(2) = 8 - 12 + 2 = -2$, это и есть минимум функции на всей числовой прямой.

Частые ошибки

• Находят производную и приравнивают к нулю, но не проверяют смену знака, поэтому путают минимум с максимумом.
• Забывают, что на отрезке минимум может оказаться на границе, а не только в критической точке.
• Ошибаются при дифференцировании степенной функции и теряют коэффициент перед переменной.

Коротко

Как найти минимум функции через производную — найти критические точки из уравнения $f'(x)=0$ и проверить смену знака производной или положительность второй производной. Значение функции в этой точке и будет искомым минимумом.