Как найти период функции

Как найти период функции — для синуса и косинуса вида $\sin(kx)$ или $\cos(kx)$ период равен $T=\dfrac{2\pi}{|k|}$, а для тангенса и котангенса — вдвое меньше: $T=\dfrac{\pi}{|k|}$. Если функция — сумма нескольких периодических слагаемых, общий период находят как наименьшее общее кратное периодов каждого слагаемого, а не как их сумму. По графику период можно найти и без формул — измерив расстояние между двумя соседними одинаковыми точками кривой, например между её вершинами. Чем больше коэффициент перед аргументом, тем короче становится результат вычисления по этой формуле.

Разбор по случаям

Примеры

Синус с коэффициентом. Дана функция $f(x)=\sin(3x)$.

Коэффициент перед $x$ равен $k=3$, значит период находится по формуле $T=\dfrac{2\pi}{|k|}=\dfrac{2\pi}{3}$.

Проверка: $f\left(x+\dfrac{2\pi}{3}\right)=\sin(3x+2\pi)=\sin(3x)=f(x)$, потому что синус повторяется через $2\pi$ независимо от значения аргумента.

Значит найденное значение $\dfrac{2\pi}{3}$ верно и является наименьшим положительным периодом.

Сумма двух слагаемых. Дана функция $f(x)=\sin(2x)+\cos(4x)$.

Период первого слагаемого равен $T_1=\dfrac{2\pi}{2}=\pi$, а период второго — $T_2=\dfrac{2\pi}{4}=\dfrac{\pi}{2}$.

Наименьшее общее кратное периодов $T_1=\pi$ и $T_2=\dfrac{\pi}{2}$ равно $\pi$, потому что $\pi$ делится на $\dfrac{\pi}{2}$ без остатка нацело. Период всей функции равен $\pi$, а не сумме периодов слагаемых, ведь их простая сумма дала бы неверный ответ.

Частые ошибки

• Забывают взять модуль коэффициента k перед аргументом и получают отрицательный период.
• Считают период суммы функций как сумму периодов слагаемых вместо наименьшего общего кратного.
• Путают период тангенса с периодом синуса и используют формулу с 2π вместо π в окончательном ответе.

Коротко

Как найти период функции — определить коэффициент перед аргументом и подставить его в формулу $T=\dfrac{2\pi}{|k|}$ для синуса и косинуса или $T=\dfrac{\pi}{|k|}$ для тангенса. Период функции, составленной из нескольких слагаемых, равен наименьшему общему кратному их периодов.