Как найти максимум функции через производную

Как найти максимум функции через производную — вычислить $f'(x)$, приравнять к нулю и решить уравнение $f'(x)=0$, получив критические точки функции. Максимум там, где производная меняет знак с плюса на минус, либо где вторая производная отрицательна: $f''(x_0)<0$. На отрезке дополнительно сравнивают значение в критической точке со значениями на концах отрезка, потому что максимум иногда оказывается именно на границе, а не в найденной критической точке.

$f'(x) = 0$

Разбор по случаям

Примеры

Квадратичная функция. Дана функция $f(x) = -x^2+6x-5$. Находим производную: $f'(x)=-2x+6$, приравниваем к нулю: $-2x+6=0$, откуда критическая точка $x_0=3$. Вторая производная $f''(x)=-2<0$ на всей области определения, значит в точке $x_0=3$ действительно максимум. Вычисляем значение функции: $f(3)=-9+18-5=4$. Максимум функции равен $4$ и достигается при $x=3$, слева функция возрастает, а справа убывает.

Кубическая функция. Дана функция $f(x) = x^3-3x$. Производная $f'(x)=3x^2-3=3(x-1)(x+1)$ равна нулю в двух точках: $x_0=1$ и $x_0=-1$, поэтому обе точки нужно проверить отдельно. Вторая производная $f''(x)=6x$: при $x=-1$ она равна $-6$, то есть отрицательна, там максимум, а при $x=1$ значение $f''(1)=6>0$, значит там минимум. Считаем значение функции: $f(-1)=-1+3=2$, это и есть максимум функции на всей числовой прямой, а не только на отрезке.

Частые ошибки

• Находят производную и приравнивают её к нулю, но не проверяют смену знака, поэтому путают максимум с минимумом.
• Забывают, что на закрытом отрезке максимум может оказаться на границе, а не только в критической точке.
• Ошибаются в знаке при вычислении второй производной и делают неверный вывод о характере точки.

Коротко

Как найти максимум функции через производную — найти критические точки из уравнения $f'(x)=0$ и проверить смену знака производной с плюса на минус или отрицательность второй производной. Значение функции в этой точке и будет искомым максимумом.