Как найти дифференциал функции

Как найти дифференциал функции: производную функции $f'(x)$ умножают на дифференциал независимой переменной $dx$, который совпадает с малым приращением аргумента: $df=f'(x)\,dx$. Для суммы двух функций дифференциалы складывают отдельно, а для произведения используют произведение первой функции на дифференциал второй плюс произведение второй на дифференциал первой. Дифференциал даёт приближённое значение приращения функции при малом изменении аргумента вблизи выбранной точки.

$df = f'(x)\,dx$

Разбор по случаям

Примеры

Дифференциал степенной функции. Дана функция $f(x)=x^3$ в точке $x_0=2$ с приращением аргумента $dx=0{,}01$. Производная равна $f'(x)=3x^2$, поэтому в этой точке $f'(2)=3\cdot4=12$.

Дифференциал функции равен $df=f'(2)\cdot dx=12\cdot0{,}01=0{,}12$.

Это приближённое изменение значения функции при малом сдвиге аргумента вправо от точки $2$.

Приближённое вычисление корня. Функция $f(x)=\sqrt{x}$, точка $x_0=4$, приращение аргумента $dx=0{,}02$. Производная $f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}$, значит в точке $4$ она равна $f'(4)=\frac{1}{4}=0{,}25$.

Дифференциал $df=0{,}25\cdot0{,}02=0{,}005$.

Приближённое значение $\sqrt{4{,}02}\approx2+0{,}005=2{,}005$, что очень близко к точному значению корня из числа $4{,}02$.

Частые ошибки

• Путают дифференциал с полным приращением функции, хотя он даёт лишь его линейную часть.
• Забывают умножить производную на приращение аргумента и оставляют в ответе только саму производную.
• Считают производную суммы или произведения функций неверно, не применяя нужное правило дифференцирования.

Коротко

Итог: как найти дифференциал функции — умножить значение производной в выбранной точке на малое приращение аргумента. Такой способ подходит и для точного выражения через производную, и для приближённых вычислений значений функции рядом с известной точкой.