Как найти критические точки функции по производной

Чтобы понять, как найти критические точки функции по производной, сначала находят саму производную $f'(x)$, а затем решают уравнение $f'(x)=0$ и получают возможные критические точки. К ним добавляют точки, где производная не существует, но сама функция в этих точках всё же определена. Из всех найденных значений $x$ оставляют только те, которые входят в область определения исходной функции $f(x)$, остальные значения отбрасывают как посторонние.

$f'(x) = 0$

Разбор по случаям

Примеры

Кубическая функция. Функция задана формулой $f(x)=x^3-3x^2+2$. Производная равна $f'(x)=3x^2-6x$. Приравниваем производную к нулю: $3x^2-6x=0$, выносим общий множитель $3x(x-2)=0$, откуда $x=0$ и $x=2$ — обе точки входят в область определения функции. Критические точки функции: $x=0$ и $x=2$.

Проверка области определения. Функция задана формулой $f(x)=\frac{1}{x}$, её производная $f'(x)=-\frac{1}{x^2}$ не обращается в нуль ни при каком значении x. Формально $f'(x)$ не существует при $x=0$, но сама функция $f(x)$ в этой точке тоже не определена. Поэтому $x=0$ не входит в критические точки — у функции $f(x)=\frac{1}{x}$ критических точек нет вообще.

Частые ошибки

• Считают критическими точками все корни уравнения f'(x)=0, не проверяя, входят ли они в область определения f(x).
• Забывают про точки, где производная не существует, хотя сама функция в них определена — такие точки тоже критические.
• Путают критические точки с точками экстремума, хотя не каждая критическая точка обязательно является максимумом или минимумом.

Коротко

Итог: как найти критические точки функции по производной — найти f'(x), решить уравнение f'(x)=0 и добавить точки, где производная не существует, но функция определена. Из полученных точек оставляют только те, что входят в область определения самой функции.