Как найти максимальное значение функции

Чтобы понять, как найти максимальное значение функции, для параболы y = ax^2+bx+c с a<0 находят вершину: x0 = -b/(2a), а значение y(x0) и есть максимум. Для произвольной функции берут производную, приравнивают её к нулю, находят критические точки и проверяют смену знака производной с плюса на минус. На отрезке сравнивают значения функции в критических точках и на концах отрезка — наибольшее из них и есть максимальное значение функции.

$x_0 = -\frac{b}{2a}$

Разбор по случаям

Примеры

Парабола. Дана функция $y = -x^2+4x+1$, требуется найти её наибольшее значение на всей числовой прямой. Коэффициент при старшем члене $a = -1$ отрицательный, значит ветви параболы направлены вниз и в вершине действительно достигается максимум, а не минимум.

Вершина находится по формуле: $x_0 = -\frac{4}{2 \cdot (-1)} = 2$.

Подставляем найденный корень в саму функцию: $y(2) = -4+8+1 = 5$. Значит максимальное значение функции равно $y_{max} = 5$ и достигается ровно при $x = 2$.

Кубическая функция на отрезке. Функция $y = x^3-3x$ задана на отрезке $x \in [-2; 2]$, максимум нужно искать именно на этом ограниченном промежутке. Производная равна $y' = 3x^2-3$, приравниваем её к нулю и получаем критические точки $x = -1$ и $x = 1$, обе точки попадают в отрезок. Вычисляем значения функции во всех подозрительных точках: $y(-2) = -2$, $y(-1) = 2$, $y(1) = -2$, $y(2) = 2$. Наибольшее из полученных чисел равно $y = 2$, оно достигается сразу в двух точках — при $x = -1$ и при $x = 2$.

Частые ошибки

• Путают максимум самой функции с максимумом её производной и решают не то уравнение.
• Забывают проверить смену знака производной при переходе через найденную критическую точку.
• На отрезке сравнивают только критические точки, забывая подставить значения на концах отрезка.

Коротко

Как найти максимальное значение функции, показывает исследование производной: критические точки внутри отрезка и его границы сравнивают между собой, а наибольшее число и есть ответ. Для параболы проще сразу использовать формулу вершины, а для суммы синуса и константы — амплитуду и свободный член.