Как найти промежутки монотонности функции

Чтобы понять, как найти промежутки монотонности функции, нужно вычислить производную и определить её знак на каждом участке области определения. Сначала находят критические точки, где производная равна нулю или не существует, и разбивают ими числовую ось на интервалы. Например, для $f(x) = x^3 - 3x$ производная $f'(x) = 3x^2 - 3$ обращается в ноль при $x = -1$ и $x = 1$. Там, где производная положительна, функция возрастает, а где отрицательна — убывает.

Разбор по случаям

Примеры

Кубическая функция. Дана функция $f(x) = x^3 - 3x$. Находим производную: $f'(x) = 3x^2 - 3$. Приравниваем её к нулю: $3x^2 - 3 = 0$, откуда $x = -1$ и $x = 1$. Проверяем знак на интервалах: при $x = -2$ получаем $f'(-2) = 9 > 0$, при $x = 0$ получаем $f'(0) = -3 < 0$, при $x = 2$ получаем $f'(2) = 9 > 0$. Значит функция возрастает на $(-\infty; -1)$ и $(1; +\infty)$, а убывает на $(-1; 1)$. Такую проверку знака проводят на каждом из трёх образовавшихся интервалов отдельно, подставляя пробную точку внутри каждого промежутка.

Парабола. Дана функция $f(x) = -x^2 + 6x - 5$. Находим производную: $f'(x) = -2x + 6$. Приравниваем к нулю: $-2x + 6 = 0$, откуда $x = 3$. При $x = 0$ значение $f'(0) = 6 > 0$, значит слева от вершины функция возрастает. При $x = 4$ значение $f'(4) = -2 < 0$, значит справа функция убывает. Итог: возрастает на $(-\infty; 3)$, убывает на $(3; +\infty)$, потому что старший коэффициент отрицателен и ветви параболы направлены вниз, к вершине в точке максимума.

Частые ошибки

• Не учитывают точки, где функция не определена, и включают их в промежутки монотонности.
• Путают знак производной со значением самой функции и делают вывод по f(x), а не по f'(x).
• Записывают ответ в виде отдельных значений x без интервалов, теряя структуру знаков на числовой оси.

Коротко

Промежутки монотонности находят через знак производной: там, где f'(x) больше нуля, функция возрастает, а где меньше нуля — убывает. Именно так отвечают на вопрос, как найти промежутки монотонности функции, для любого многочлена, дроби, корня или тригонометрической функции.