Как найти значение производной функции

Чтобы понять, как найти значение производной функции, сначала находят саму производную по правилам дифференцирования — степенной функции, суммы, произведения, частного или сложной функции. Затем в полученную формулу производной подставляют нужное значение аргумента вместо x и вычисляют результат. Результат может быть положительным, отрицательным или равным нулю в зависимости от поведения графика в этой точке. Такой алгоритм работает для любой элементарной функции — многочлена, дроби, корня или тригонометрической функции.

$f'(x) = n x^{n-1}$

Разбор по случаям

Примеры

многочлен. Дана функция $f(x) = x^3 - 2x^2 + 5$, нужно найти значение производной в точке $x = 2$. Производную каждого слагаемого берут по степенному правилу: $f'(x) = 3x^2 - 4x$.

Подставляют число: $f'(2) = 3 \cdot 4 - 4 \cdot 2 = 12 - 8 = 4$.

Полученное число 4 — значение производной в точке $x = 2$, оно показывает, что график функции в этой точке возрастает, а угол наклона касательной к графику положительный и острый.

сложная функция. Дана функция $f(x) = (3x - 1)^4$, нужно найти производную в точке $x = 1$.

По правилу сложной функции: $f'(x) = 4(3x-1)^3 \cdot 3 = 12(3x-1)^3$.

Подставляют $x = 1$: $3 \cdot 1 - 1 = 2$, значит $f'(1) = 12 \cdot 2^3 = 12 \cdot 8 = 96$.

Внешнюю степень и внутреннюю скобку дифференцируют по очереди, а не одновременно: сначала берут производную внешней степени, потом умножают результат на производную выражения, стоящего внутри скобки, а не наоборот.

Частые ошибки

• Считают производную числа без переменной не равной нулю, хотя константа при дифференцировании исчезает.
• Путают правило произведения с произведением производных и пишут f'g' вместо f'g плюс fg'.
• В сложной функции забывают домножить на производную внутренней части и останавливаются на внешней степени.

Коротко

Вопрос, как найти значение производной функции, решается в два шага: сначала дифференцируют по правилу, соответствующему виду функции, затем подставляют число вместо аргумента. Результат показывает скорость изменения функции и знак наклона касательной в конкретной точке графика.