Как найти нули квадратичной функции

Как найти нули квадратичной функции — приравнять её к нулю и решить квадратное уравнение $ax^2+bx+c=0$ через дискриминант $D=b^2-4ac$. При $D>0$ получаются два разных корня, при $D=0$ — один корень, а при $D<0$ действительных нулей нет вовсе.

Корни ищут по формуле $x=\dfrac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}$, а при удобных коэффициентах быстрее разложить трёхчлен на множители или подобрать корни по теореме Виета.

Найденные корни всегда стоит подставить обратно в исходную функцию, чтобы проверить правильность вычислений.

$x=\dfrac{-b\pm\sqrt{D}}{2a},\quad D=b^2-4ac$

Разбор по случаям

Примеры

Два корня. Дана функция $f(x)=x^2-7x+10$.

Дискриминант: $D=(-7)^2-4\cdot1\cdot10=49-40=9$.

Так как $D>0$, корней два: $x=\dfrac{7\pm3}{2}$, откуда $x_1=\dfrac{7+3}{2}=5$ и $x_2=\dfrac{7-3}{2}=2$. Проверка подстановкой: $f(5)=25-35+10=0$ и $f(2)=4-14+10=0$, оба значения обращают функцию в нуль. Такое разложение подтверждает результат: $f(x)=(x-2)(x-5)$, где корни видны сразу без вычислений. Расстояние между найденными корнями равно трём единицам, что видно и на графике параболы, пересекающей ось x дважды.

Один корень. Дана функция $f(x)=x^2-6x+9$.

Дискриминант $D=(-6)^2-4\cdot1\cdot9=36-36=0$, значит корень только один.

Находим его: $x=\dfrac{6}{2}=3$. Проверка подстановкой: $f(3)=9-18+9=0$ подтверждает верность корня. Парабола своей вершиной лишь касается оси абсцисс в точке $x=3$, не пересекая её в двух разных точках графика. Такой случай означает, что квадратный трёхчлен представляет собой полный квадрат: $f(x)=(x-3)^2$, и других корней у уравнения быть не может.

Частые ошибки

• Теряют знак минус перед b в формуле дискриминанта и из-за этого получают неверные значения корней.
• Считают отрицательный дискриминант признаком ошибки в вычислениях, хотя это означает лишь отсутствие действительных нулей.
• Путают нуль функции с координатой вершины параболы и подставляют в окончательный ответ не то число.

Коротко

Как найти нули квадратичной функции — вычислить дискриминант квадратного уравнения и подставить его в формулу корней с учётом знака. Число нулей всегда равно числу корней уравнения: два, один или ни одного действительного значения переменной.