Как найти вершину квадратичной функции

Вопрос «Как найти вершину квадратичной функции» решается через коэффициенты a, b и c: абсцисса вершины равна x0 = −b/(2a), а ординату получают подстановкой этого значения обратно в функцию, y0 = f(x0). Если функция уже записана в вершинной форме y = a(x−m)² + n, координаты видны сразу — это m и n. Через известные корни абсцисса вершины равна их полусумме.

$x_0 = -\frac{b}{2a},\quad y_0 = f(x_0)$

Разбор по случаям

Примеры

y = −3(x−1)² + 4. Функция дана в вершинной форме: $y = -3(x-1)^2 + 4$. Здесь координаты вершины видны сразу: $x_0 = 1$, $y_0 = 4$, без вычисления производной или дискриминанта. Ветви параболы направлены вниз, потому что коэффициент при квадрате отрицательный, $a = -3$, и вершина оказывается точкой максимума. Проверим: при $x=0$ значение функции $y=-3(0-1)^2+4=1$, это меньше $y_0=4$, значит вершина и правда даёт наибольшее значение функции.

y = 2x² − 8x + 5. Функция $y = 2x^2 - 8x + 5$ имеет коэффициенты $a=2$, $b=-8$.

Абсцисса вершины: $x_0 = -\frac{-8}{2\times 2} = 2$.

Ордината: $y_0 = 2\times 2^2 - 8\times 2 + 5 = 8-16+5=-3$.

Вершина параболы — точка $(2;-3)$, и ветви здесь направлены вверх, так как $a>0$.

Проверка через дискриминант: $D=(-8)^2-4\times2\times5=24$, тогда $y_0=-\frac{D}{4a}=-\frac{24}{8}=-3$ — результат совпал.

Частые ошибки

• Забывают минус в формуле x0 = −b/(2a) и получают абсциссу вершины с противоположным по знаку значением.
• Подставляют найденное x0 обратно в функцию с ошибкой в знаках и получают неверную ординату вершины.
• Путают вершину параболы с точками пересечения графика функции с осью абсцисс Ox.

Коротко

Вершину квадратичной функции находят через коэффициенты по формуле x0 = −b/(2a), а ординату — подстановкой найденного значения в саму функцию. Так решается вопрос «Как найти вершину квадратичной функции» для любого вида записи уравнения параболы.