Как найти приращение функции

Как найти приращение функции — вычислить значение функции в новой точке и вычесть из него значение в исходной точке: $\Delta y=f(x_0+\Delta x)-f(x_0)$.

Для линейной функции приращение равно произведению углового коэффициента на приращение аргумента, а для квадратичной при раскрытии скобок появляется дополнительное слагаемое с квадратом приращения. Если известны просто два значения аргумента, сначала находят приращение аргумента как их разность, а затем считают разность значений функции в этих точках. Знак приращения показывает, растёт функция или убывает на этом участке.

$\Delta y = f(x_0+\Delta x)-f(x_0)$

Разбор по случаям

Примеры

Квадратичная функция. Дана функция $f(x)=x^2$, точка $x_0=3$ и приращение аргумента $\Delta x=2$. Находим значение функции в новой точке: $f(x_0+\Delta x)=f(5)=25$, и в исходной точке $f(x_0)=f(3)=9$. Итоговая величина равна разности этих двух значений: $\Delta y=25-9=16$.

Проверка по формуле $\Delta y=2x_0\Delta x+(\Delta x)^2=2\cdot3\cdot2+2^2=12+4=16$ подтверждает результат.

Оба способа вычисления дают одинаковый ответ, значит арифметика верна.

Линейная функция. Дана линейная функция $f(x)=3x+1$, точка $x_0=4$ и приращение аргумента $\Delta x=5$. Значение функции в исходной точке $f(4)=13$, а в новой точке $f(9)=3\cdot9+1=28$.

Полученная величина $\Delta y=28-13=15$ совпадает с произведением углового коэффициента на приращение аргумента: $\Delta y=k\cdot\Delta x=3\cdot5=15$, что характерно именно для линейной функции с постоянным угловым коэффициентом на всей области определения.

Частые ошибки

• Вычисляют f(x0+Δx) неправильно, забывая подставить всю сумму под функцию целиком, а не по отдельности.
• Путают приращение функции с приращением аргумента и меняют их местами в записи формулы.
• Для нелинейной функции считают приращение как произведение коэффициента на Δx без учёта квадратичных слагаемых разложения.

Коротко

Как найти приращение функции — найти разность значений функции в новой и исходной точках после того, как аргумент получил своё приращение. Для линейной функции эта разность считается проще всего — через произведение углового коэффициента на приращение аргумента.