Как найти промежутки возрастания функции

Как найти промежутки возрастания функции: сначала определите область определения, затем вычислите производную и найдите точки, где она равна нулю или не существует. Эти точки делят область определения на несколько промежутков. На каждом из них знак производной проверяют подстановкой пробного значения: если производная положительна, функция на этом промежутке возрастает, если отрицательна — убывает. Результат оформляют в виде интервалов с открытыми границами в критических точках, где производная меняет знак.

Разбор по случаям

Примеры

Парабола. Дана функция $f(x) = x^2 - 4x + 3$, это парабола с ветвями вверх. Чтобы найти промежутки возрастания, берём производную $f'(x) = 2x - 4$ и решаем неравенство $2x - 4 > 0$. Отсюда получаем $x > 2$. Значит, на промежутке $(2; +\infty)$ функция возрастает, а на промежутке $(-\infty; 2)$ убывает, потому что вершина параболы находится ровно в точке $x = 2$, где производная обращается в ноль и меняет знак с минуса на плюс.

Кубическая функция. Для функции $f(x) = x^3 - 3x$ находим производную $f'(x) = 3x^2 - 3$. Приравниваем её к нулю: $3x^2 - 3 = 0$, отсюда $x = -1$ и $x = 1$ — точки экстремума. Проверяем знак на трёх промежутках: при $x = -2$ производная $f'(-2) = 9$ положительна, при $x = 0$ значение $f'(0) = -3$ отрицательно, а при $x = 2$ снова $f'(2) = 9$ положительно. Значит, функция возрастает на промежутках $(-\infty; -1)$ и $(1; +\infty)$, а между корнями убывает. Такую проверку удобно оформлять таблицей знаков производной.

Частые ошибки

• Путают знак производной со знаком самой функции и делают вывод о росте по значению f(x), а не f'(x).
• Забывают учесть ограничения области определения, из-за чего в промежутки возрастания попадают точки деления на ноль.
• Указывают границы промежутков квадратными скобками в точках экстремума, хотя ровно в этих точках функция не строго возрастает.

Коротко

Как найти промежутки возрастания функции — значит вычислить производную, определить её знак на каждом участке области определения и выбрать те, где производная положительна. Границы промежутков задают нули и точки разрыва производной, а сам ответ записывают в виде объединения интервалов.