Как найти промежуток убывания функции

Участки, где график функции идёт вниз слева направо, находят через знак производной на числовой оси.

МатематикаОбновлено 8 сентября 2026 г.3 мин чтения

Как найти промежуток убывания функции?

Нейросова

Как найти промежуток убывания функции: вычислить производную, приравнять её к нулю, найти критические точки и определить знак производной между ними. Там, где производная отрицательна, функция убывает. Для параболы достаточно найти вершину: ветви вверх — функция убывает слева от вершины, ветви вниз — убывает справа от неё. Для более сложных функций критические точки разбивают числовую ось на промежутки, знак производной на каждом из которых удобно проверить подстановкой пробного числа.

Парабола ветвями вниз с вершиной в точке (2;1): функция убывает при x больше 2 — После вершины график идёт только вниз

Разбор по случаям

Что известно	Формула	Когда применять
квадратичная функция вида $y = ax$ ² + bx + c, то есть парабола	$x_0 = -\dfrac{b}{2a}$	достаточно найти вершину параболы, направление ветвей задаёт знак a
кубическая или другая функция с явной формулой	f'(x) < 0	нужно взять производную и решить неравенство
функция задана графиком, а не формулой	участок, где график опускается слева направо, и есть промежуток убывания	формулы нет вовсе, только картинка
у функции есть точки разрыва или она не определена в отдельных точках	f'(x) < 0	промежутки убывания ищут только внутри области определения, точки разрыва исключают из ответа
функция монотонная и нужно доказать убывание без графика	$f(x_1) > f(x_2)\ \text{при}\ x_1 < x_2$	требуется строгое доказательство по определению, а не только через производную
функция чётная или нечётная, график симметричен относительно оси Y или начала координат	$f(-x) = f(x)\ \text{или}\ f(-x) = -f(x)$	промежуток убывания на одной половине оси переносят на другую с учётом симметрии графика

Примеры

Квадратичная функция. Дана функция $y = -x^2 + 4x - 3$ . Производная: $y' = -2x + 4$ . Решаем неравенство $-2x + 4 < 0$ , откуда $x > 2$ . Ветви параболы направлены вниз, вершина в точке $x = 2$ , поэтому слева от вершины функция растёт, а справа убывает на промежутке $(2; +\infty)$ .

Проверка: при $x = 3$ производная $y' = -2\cdot3 + 4 = -2 < 0$ , значит функция там действительно убывает.

Кубическая функция. Дана функция $y = x^3 - 3x$ .

Производная: $y' = 3x^2 - 3 = 3(x-1)(x+1)$ .

Она отрицательна между корнями, то есть при $-1 < x < 1$ . Функция убывает на промежутке $(-1; 1)$ , а вне его, то есть при $x < -1$ и при $x > 1$ , возрастает.

Проверка: при $x = 0$ производная $y' = 3\cdot0^2 - 3 = -3 < 0$ , что подтверждает убывание внутри найденного промежутка.

Частые ошибки

Путают промежутки возрастания и убывания, забывая, что знак минус у производной означает именно убывание.
Записывают критические точки как сами промежутки убывания, не проверяя знак производной между ними.
Включают в промежуток убывания точки, где функция не определена, вместо того чтобы аккуратно их исключить из ответа.

Коротко

Как найти промежуток убывания функции, показывает знак её производной: отрицательная производная означает, что график идёт вниз. Для параболы это направление легко определить по расположению вершины и направлению ветвей.

Учебный бот Нейросовы

Бесплатный помощник по учёбе — не только по теме «Математика». Решит задачу по действиям, объяснит непонятное место своими словами, ответит на вопросы в конце параграфа.

Любой учебный вопрос
Понимает фото задания
Без регистрации

Спросить бота

Как найти промежуток убывания функции

Разбор по случаям

Примеры

Частые ошибки

Коротко

Ещё по теме